Oppervlakte is een maat van hoeveel ruimte er in een vorm is. Het berekenen van de oppervlakte van een vorm of oppervlak kan handig zijn in het dagelijks leven – u moet bijvoorbeeld weten hoeveel verf u moet kopen om een muur te bedekken of hoeveel graszaad u nodig heeft om een gazon te zaaien.
Deze pagina behandelt de essentiële zaken die u moet weten om de gebieden van veelvoorkomende vormen, waaronder vierkanten en rechthoeken, driehoeken en cirkels, te begrijpen en te berekenen.
Oppervlakte berekenen met behulp van de rastermethode
Wanneer een vorm wordt getekend op een geschaald raster. U kunt het gebied vinden door het aantal rastervierkanten in de vorm te tellen.
In dit voorbeeld zijn er 10 rastervierkanten binnen de rechthoek.
Om om een gebiedswaarde te vinden met behulp van de rastermethode, moeten we de grootte weten die een rastervierkant vertegenwoordigt.
In dit voorbeeld worden centimeters gebruikt, maar dezelfde methode is van toepassing op elke eenheid van lengte of afstand. U kunt bijvoorbeeld inches, meters, mijlen, voet enz. Gebruiken.
In dit voorbeeld heeft elk rastervierkant een breedte van 1cm en hoogte van 1cm. Met andere woorden, elk rastervierkant is één “vierkante centimeter”.
Tel de rastervierkanten in het grote vierkant om de oppervlakte te bepalen.
Er zijn 16 kleine vierkanten, dus de oppervlakte van het grote vierkant is 16 vierkante centimeter.
In de wiskunde korten we “vierkante centimeter” af tot cm2. De 2 betekent ‘in het kwadraat’.
Elk rastervierkant is 1 cm2.
De oppervlakte van het grote vierkant is 16 cm2.
Vierkanten tellen op een raster om de oppervlakte te vinden werkt voor alle vormen – zolang de roostermaten bekend zijn. Deze methode wordt echter uitdagender wanneer vormen niet precies in het raster passen of wanneer u fracties van rastervierkanten moet tellen.
In dit voorbeeld past het vierkant niet precies op het raster.
We kunnen de oppervlakte nog steeds berekenen door rastervierkanten te tellen.
- Er zijn 25 volledige rastervierkanten ( blauw gearceerd).
- 10 halve vierkanten (geel gearceerd) – 10 halve vierkanten is hetzelfde als 5 volledige vierkanten.
- Er is ook 1 kwartvierkant (groen gearceerd ) – (¼ of 0,25 van een heel vierkant).
- Tel de hele vierkanten en breuken bij elkaar op: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
De oppervlakte hiervan vierkant is daarom 30,25 cm2.
Je kunt dit ook schrijven als 30¼cm2.
Hoewel het gebruik van een raster en het tellen van vierkanten in een vorm een zeer eenvoudige manier is om de begrippen oppervlakte te leren is minder handig voor het vinden van exacte gebieden met complexere vormen, wanneer er mogelijk veel fracties van rastervierkanten bij elkaar moeten worden opgeteld.
Oppervlakte kan worden berekend met behulp van eenvoudige formules, afhankelijk van het type vorm waarmee u werkt.
De rest van deze pagina legt uit en geeft voorbeelden van hoe de oppervlakte van een vorm zonder het rastersysteem te gebruiken.
Gebieden van eenvoudige vierhoeken: vierkanten en rechthoeken en parallellogrammen
De eenvoudigste (en meest gebruikte) oppervlakteberekeningen zijn voor vierkanten en rechthoeken.
Om de oppervlakte van een rechthoek te vinden, vermenigvuldigt u de hoogte met de breedte.
Voor een vierkant hoeft u alleen de lengte van een van de zijden te vinden (aangezien elke zijde even lang is) en vermenigvuldig dit vervolgens met zichzelf om het gebied te vinden. Dit is hetzelfde als het zeggen van lengte2 of lengte in het kwadraat.
Het is een goede gewoonte om te controleren of een vorm daadwerkelijk een vierkant is door twee zijden te meten. De muur van een kamer kan er bijvoorbeeld uitzien als een vierkant, maar als je hem meet, zie je dat het in feite een rechthoek is.
In het echte leven kunnen vormen vaak complexer zijn. Stel je voor dat je de oppervlakte van een vloer wilt vinden, zodat je de juiste hoeveelheid tapijt kunt bestellen.
Een typische plattegrond van een kamer bestaat misschien niet uit een simpele rechthoek of vierkant:
In dit voorbeeld, en andere soortgelijke voorbeelden, is het de kunst om de vorm op te splitsen in verschillende rechthoeken ( of vierkanten). Het maakt niet uit hoe je de vorm splitst – elk van de drie oplossingen levert hetzelfde antwoord op.
Oplossing 1 en 2 vereisen dat je twee vormen maakt en hun gebieden bij elkaar optelt om de totale oppervlakte te vinden .
Voor oplossing 3 maak je een grotere vorm (A) en trek je de kleinere vorm (B) ervan af om het gebied te vinden.
Een ander veelvoorkomend probleem is het vinden van het gebied van een rand – een vorm in een andere vorm.
Dit voorbeeld toont een pad rond een veld – het pad is 2 m breed.
Nogmaals, er zijn verschillende manieren om het gebied uit te werken van het pad in dit voorbeeld.
Je zou het pad kunnen zien als vier afzonderlijke rechthoeken, hun afmetingen en vervolgens hun oppervlakte kunnen berekenen en tenslotte de oppervlakten bij elkaar kunnen optellen om een totaal te krijgen.
A snellere manier zou zijn om de oppervlakte van de hele vorm en de oppervlakte van de interne rechthoek uit te werken.Trek het interne rechthoekige gebied af van het geheel en laat het gebied van het pad achter.
- Het gebied van de hele vorm is 16m × 10m = 160m2.
- We kunnen de afmetingen van het middengedeelte berekenen omdat we weten dat het pad rond de rand 2m breed is.
- De breedte van de hele vorm is 16 m en de breedte van het pad over de hele vorm is 4 m (2 m aan de linkerkant van de vorm en 2 m aan de rechterkant). 16m – 4m = 12m
- We kunnen hetzelfde doen voor de hoogte: 10m – 2m – 2m = 6m
- We hebben dus berekend dat de middelste rechthoek 12m × 6m is.
- De oppervlakte van de middelste rechthoek is dus: 12m × 6m = 72m 2.
- Ten slotte nemen we de oppervlakte van de middelste rechthoek weg van de oppervlakte van de hele vorm. 160 – 72 = 88m2.
De oppervlakte van het pad is 88m2.
Een parallellogram is een vierzijdige vorm met twee paar zijden van gelijke lengte – door definitie een rechthoek is een soort parallellogram. De meeste mensen beschouwen parallellogrammen echter als vierzijdige vormen met schuine lijnen, zoals hier wordt geïllustreerd.
Het gebied van een parallellogram wordt op dezelfde manier berekend als voor een rechthoek (hoogte x breedte), maar het is belangrijk om te begrijpen dat hoogte niet de lengte van de verticale (of niet verticale) zijden betekent, maar de afstand tussen de zijden.
Uit het diagram kun je zien dat de hoogte de afstand is tussen de boven- en onderkant van de vorm – niet de lengte van de zijkant.
Denk aan een denkbeeldige lijn, haaks, tussen de boven- en onderkant. Dit is de hoogte.
Areas of Triangles
Het kan handig zijn om een driehoek te zien als de helft van een vierkant of parallellogram.
Ervan uitgaande dat u de afmetingen van een driehoek kent (of kunt meten), kunt u snel de oppervlakte ervan bepalen.
De oppervlakte van een driehoek is (hoogte × breedte) ÷ 2.
Met andere woorden, je kunt de oppervlakte van een driehoek op dezelfde manier berekenen als de oppervlakte voor een vierkant of parallellogram, en dan je antwoord delen door 2 .
De hoogte van een driehoek wordt gemeten als een rechthoekige lijn vanaf de onderste lijn (basis) naar de apex (bovenste punt) van de driehoek.
Hier zijn enkele voorbeelden:
De oppervlakte van de drie driehoeken in het bovenstaande diagram is hetzelfde.
Elke driehoek heeft een breedte en hoogte van 3 cm.
De oppervlakte wordt berekend:
(hoogte × breedte) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4.5
De oppervlakte van elke driehoek is 4,5 cm2.
In real-life situatie ionen kunt u geconfronteerd worden met een probleem waarbij u de oppervlakte van een driehoek moet vinden, zoals:
U wilt de gevel van een schuur schilderen. Je wilt de decoratiewinkel maar één keer bezoeken om de juiste hoeveelheid verf te krijgen. Je weet dat een liter verf 10 m2 muur kan bedekken. Hoeveel verf heb je nodig om de gevel te bedekken?
Je hebt drie afmetingen nodig:
A – De totale hoogte tot de top van het dak.
B – De hoogte van de verticale wanden.
C – De breedte van het gebouw.
In dit voorbeeld zijn de afmetingen:
A – 12.4m
B – 6.6m
C – 11.6m
De volgende fase vereist wat extra berekeningen. Beschouw het gebouw als twee vormen, een rechthoek en een driehoek. Op basis van de afmetingen die u heeft, kunt u de aanvullende afmeting berekenen die nodig is om de oppervlakte van de puntgevel te bepalen.
Meting D = 12.4 – 6.6
D = 5.8m
Je kunt nu de oppervlakte van de twee delen van de muur uitrekenen:
Oppervlakte van het rechthoekige deel van de muur: 6,6 × 11,6 = 76,56 m2
Oppervlakte van het driehoekige deel van de muur: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 m2
Tel deze twee gebieden bij elkaar op om de totale oppervlakte:
76.56 + 33.64 = 110.2m2
Zoals je weet is een liter verf geschikt voor 10 m2 muur, dus we kunnen berekenen hoeveel liter we moeten kopen:
110,2 ÷ 10 = 11,02 liter.
In werkelijkheid kan het zijn dat verf alleen wordt verkocht in blikken van 5 liter of 1 liter, het resultaat is iets meer dan 11 liter. Je zou in de verleiding kunnen komen om af te ronden naar 11 liter, maar ervan uitgaande dat we de verf niet verdunnen, is dat niet voldoende. Dus je zult waarschijnlijk naar de volgende hele liter afronden en twee blikken van 5 liter en twee blikken van 1 liter kopen, wat in totaal 12 liter verf oplevert. Dit zorgt voor eventuele verspilling en laat het grootste deel van een liter over om op een later tijdstip bij te werken. En vergeet niet dat als u meer dan één verflaag moet aanbrengen, u de hoeveelheid verf voor één laag moet vermenigvuldigen met het aantal benodigde lagen!
Cirkelsgebieden
Om de oppervlakte van een cirkel te berekenen, moet u de diameter of straal weten.
De diameter van een cirkel is de lengte van een rechte lijn van de ene kant van de cirkel naar de andere die door het middelpunt van de cirkel loopt.De diameter is tweemaal de lengte van de straal (diameter = straal × 2)
De straal van een cirkel is de lengte van een rechte lijn vanaf het middelpunt van de cirkel tot aan de rand. De straal is de helft van de diameter. (straal = diameter ÷ 2)
Je kunt de diameter of straal op elk punt rond de cirkel meten – het belangrijkste is om te meten met een rechte lijn die door (diameter) gaat of eindigt op (straal) het middelpunt van de cirkel.
In de praktijk is het bij het meten van cirkels vaak gemakkelijker om de diameter te meten en vervolgens te delen door 2 om de straal te vinden.
Je hebt de straal nodig om te werken uit de oppervlakte van een cirkel is de formule:
cirkelgebied = πR2.
Dit betekent:
π = Pi is een constante die gelijk is aan 3.142.
R = is de straal van de cirkel.
R2 (straal in het kwadraat) betekent straal × straal.
Daarom heeft een cirkel met een straal van 5 cm een oppervlakte van:
3.142 × 5 × 5 = 78.55cm2.
Een cirkel met een diameter van 3m heeft een oppervlakte:
Eerst werken we de straal (3m ÷ 2 = 1.5m)
Pas dan de formule toe:
πR2
3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.
De oppervlakte van een cirkel met een diameter van 3 m is 7,0695 m2.
Laatste voorbeeld
Dit voorbeeld e gebruikt veel van de inhoud van deze pagina voor het oplossen van eenvoudige gebiedsproblemen.
Dit is de Ruben M Benjamin House in Bloomington, Illinois, genoteerd in het National Register of Historic Places van de Verenigde Staten (recordnummer: 376599).
In dit voorbeeld wordt het gedeelte van de voorkant van het huis, het houten lattenbodem, gevonden – exclusief de deur en ramen. De afmetingen die je nodig hebt zijn:
| A – 9,7 m | B – 7,6 m |
| C – 8,8 m | D – 4,5 m |
| E – 2,3 m | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Opmerkingen:
- Alle afmetingen zijn bij benadering.
- U hoeft zich geen zorgen te maken over de rand rond het huis – deze is niet meegenomen in de afmetingen.
- We gaan ervan uit dat alle rechthoekige ramen even groot zijn.
- De ronde raammaat is de diameter van het raam.
- De maat voor de deur is inclusief de treden.
Wat is de oppervlakte van het houten lattenbodem van het huis?
Werkingen en antwoorden hieronder:
Antwoorden op bovenstaand voorbeeld
Bepaal eerst het gebied van de vorm van het huis – dat zijn de rechthoek en driehoek waaruit de vorm bestaat.
De hoofdrechthoek (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88 m2.
De hoogte van de driehoek is (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
De oppervlakte van de driehoek is daarom (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 m2.
De gecombineerde volledige oppervlakte van de voorkant van het huis is de som van de oppervlakken van de rechthoek en driehoek:
66,88 + 9,24 = 76,12 m2.
Bereken vervolgens de gebieden van de ramen en deuren, zodat ze kunnen worden afgetrokken van het volledige gebied.
Het gebied van de deur en treden is (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 m2.
De oppervlakte van een rechthoekig raam is (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 m2.
Er zijn vijf rechthoekige ramen. Vermenigvuldig de oppervlakte van een raam met 5.
3,24 × 5 = 16,2 m2. (de totale oppervlakte van de rechthoekige ramen).
Het ronde raam heeft een diameter van 1m, de straal is dus 0,5m.
Bereken met πR2 de oppervlakte van het ronde raam : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0.7855 m2.
Tel vervolgens de oppervlakken van de deur en ramen bij elkaar op.
(deuroppervlak) 10.35 + (rechthoekig raamoppervlak) 16.2 + (rond raamoppervlak) 0.7855 = 27.3355
Trek ten slotte de totale oppervlakte voor de ramen en deuren af van de volledige oppervlakte.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
De oppervlakte van de houten lattenvoorzijde van de huis, en het antwoord op het probleem is: 48.7845m2.
Misschien wil je het antwoord afronden tot 48,8m2 of 49m2.
Zie onze pagina over schatting, benadering en afronding.