Die Fläche ist ein Maß wie viel Platz es in einer Form gibt. Die Berechnung der Fläche einer Form oder Oberfläche kann im Alltag hilfreich sein. Beispielsweise müssen Sie möglicherweise wissen, wie viel Farbe Sie kaufen müssen, um eine Wand zu bedecken, oder wie viel Grassamen Sie benötigen, um einen Rasen zu säen.
Diese Seite enthält die wichtigsten Informationen, die Sie benötigen, um die Bereiche gängiger Formen einschließlich Quadrate und Rechtecke, Dreiecke und Kreise zu verstehen und zu berechnen.
Berechnen der Fläche mithilfe der Rastermethode
Wann Eine Form wird auf einem skalierten Gitter gezeichnet. Sie können den Bereich finden, indem Sie die Anzahl der Gitterquadrate innerhalb der Form zählen.
In diesem Beispiel befinden sich 10 Gitterquadrate innerhalb des Rechtecks.
In der Reihenfolge Um einen Flächenwert mithilfe der Rastermethode zu ermitteln, müssen Sie die Größe eines Rasterquadrats kennen.
In diesem Beispiel werden Zentimeter verwendet. Die gleiche Methode gilt jedoch für jede Längen- oder Entfernungseinheit. Sie können beispielsweise Zoll, Meter, Meilen, Fuß usw. verwenden.
In diesem Beispiel hat jedes Gitterquadrat ein Breite von 1 cm und Höhe von 1 cm. Mit anderen Worten, jedes Gitterquadrat ist ein „Quadratzentimeter“.
Zählen Sie die Gitterquadrate innerhalb des großen Quadrats, um seine Fläche zu finden.
Es gibt 16 kleine Quadrate, also die Fläche von Das große Quadrat ist 16 Quadratzentimeter.
In der Mathematik wird „Quadratzentimeter“ mit cm2 abgekürzt. Die 2 bedeutet „Quadrat“.
Jedes Gitterquadrat ist 1 cm2 groß.
Die Fläche des großen Quadrats beträgt 16 cm2.
Das Zählen von Quadraten auf einem Gitter, um die Fläche zu finden, funktioniert für alle Formen – solange die Gittergrößen bekannt sind. Diese Methode wird jedoch schwieriger, wenn Formen nicht genau zum Raster passen oder wenn Sie Bruchteile von Rasterquadraten zählen müssen.
In diesem Beispiel passt das Quadrat nicht genau auf das Gitter.
Wir können die Fläche weiterhin berechnen, indem wir Gitterquadrate zählen.
- Es gibt 25 vollständige Gitterquadrate ( blau schattiert).
- 10 halbe Gitterquadrate (gelb schattiert) – 10 halbe Quadrate entsprechen 5 vollen Quadraten.
- Es gibt auch 1 Viertelquadrat (grün schattiert) ) – (¼ oder 0,25 eines ganzen Quadrats).
- Addiere die ganzen Quadrate und Brüche: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Die Fläche davon Das Quadrat ist daher 30,25 cm2.
Sie können dies auch als 30¼ cm2 schreiben.
Obwohl die Verwendung eines Gitters und das Zählen von Quadraten innerhalb einer Form eine sehr einfache Methode ist, um die Konzepte der Fläche zu erlernen ist weniger nützlich, um genaue Bereiche mit komplexeren Formen zu finden, wenn möglicherweise viele Bruchteile von Gitterquadraten addiert werden müssen.
Die Fläche kann abhängig von der Art der Form, mit der Sie arbeiten, mit einfachen Formeln berechnet werden.
Der Rest dieser Seite erläutert und gibt Beispiele für die Berechnung der Fläche von a Form ohne Verwendung des Rastersystems.
Bereiche einfacher Vierecke: Quadrate und Rechtecke und Parallelogramme
Die einfachsten (und am häufigsten verwendeten) Flächenberechnungen gelten für Quadrate und Rechtecke.
Um die Fläche eines Rechtecks zu ermitteln, multiplizieren Sie seine Höhe mit seiner Breite.
Für ein Quadrat müssen Sie nur die Länge einer der Seiten ermitteln (da jede Seite dieselbe Länge hat). und multiplizieren Sie dies dann mit sich selbst, um den Bereich zu finden. Dies entspricht der Angabe von Länge2 oder Länge im Quadrat.
Es wird empfohlen, durch Messen von zwei Seiten zu überprüfen, ob eine Form tatsächlich ein Quadrat ist. Beispielsweise mag die Wand eines Raums wie ein Quadrat aussehen, aber wenn Sie sie messen, stellen Sie fest, dass es sich tatsächlich um ein Rechteck handelt.
Im wirklichen Leben können Formen oft komplexer sein. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie möchten die Fläche eines Fußbodens finden, damit Sie die richtige Menge Teppich bestellen können.
Ein typischer Grundriss eines Raums besteht möglicherweise nicht aus einem einfachen Rechteck oder Quadrat:
In diesem und ähnlichen Beispielen besteht der Trick darin, die Form in mehrere Rechtecke aufzuteilen ( oder Quadrate). Es spielt keine Rolle, wie Sie die Form teilen – jede der drei Lösungen führt zu derselben Antwort.
Bei Lösung 1 und 2 müssen Sie zwei Formen erstellen und ihre Bereiche addieren, um die Gesamtfläche zu ermitteln
Für Lösung 3 erstellen Sie eine größere Form (A) und subtrahieren die kleinere Form (B) davon, um den Bereich zu finden.
Ein weiteres häufiges Problem besteht darin, den Bereich zu finden eines Rahmens – eine Form innerhalb einer anderen Form.
Dieses Beispiel zeigt einen Pfad um ein Feld – der Pfad ist 2 m breit.
Auch hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, den Bereich zu bearbeiten des Pfads in diesem Beispiel.
Sie können den Pfad als vier separate Rechtecke anzeigen, ihre Abmessungen und dann ihre Fläche berechnen und schließlich die Flächen zu einer Summe addieren.
A. Ein schnellerer Weg wäre, den Bereich der gesamten Form und den Bereich des internen Rechtecks zu berechnen.Subtrahieren Sie den internen Rechteckbereich vom Ganzen, wobei Sie den Bereich des Pfads verlassen.
- Der Bereich der gesamten Form beträgt 16 m × 10 m = 160 m 2.
- Wir können die Abmessungen des Mittelteils berechnen, da wir wissen, dass der Pfad um die Kante 2 m breit ist.
- Die Breite der gesamten Form beträgt 16 m und die Breite des Pfades über die gesamte Form beträgt 4 m (2 m links von der Form und 2 m rechts). 16 m – 4 m = 12 m
- Wir können dasselbe für die Höhe tun: 10 m – 2 m – 2 m = 6 m
- Wir haben also berechnet, dass das mittlere Rechteck 12 m × 6 m beträgt.
- Die Fläche des mittleren Rechtecks beträgt daher: 12 m × 6 m = 72 m 2.
- Schließlich nehmen wir die Fläche des mittleren Rechtecks von der Fläche der gesamten Form weg. 160 – 72 = 88 m2.
Die Fläche des Pfades beträgt 88 m2.
Ein Parallelogramm ist eine vierseitige Form mit zwei Seitenpaaren gleicher Länge Definition Ein Rechteck ist eine Art Parallelogramm. Die meisten Menschen neigen jedoch dazu, Parallelogramme als vierseitige Formen mit abgewinkelten Linien zu betrachten, wie hier dargestellt.
Der Bereich eines Parallelogramms wird auf die gleiche Weise wie für ein Rechteck (Höhe × Breite) berechnet, es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass Höhe nicht die Länge der vertikalen (oder nicht vertikalen) Seiten bedeutet, sondern den Abstand zwischen den Seiten.
Aus dem Diagramm können Sie ersehen, dass die Höhe der Abstand zwischen der Ober- und Unterseite der Form ist – nicht die Länge der Seite.
Stellen Sie sich eine imaginäre Linie im rechten Winkel vor. zwischen der Ober- und Unterseite. Dies ist die Höhe.
Bereiche von Dreiecken
Es kann nützlich sein, sich ein Dreieck als die Hälfte eines Quadrats oder Parallelogramms vorzustellen.
Wenn Sie die Abmessungen eines Dreiecks kennen (oder messen können), können Sie dessen Fläche schnell berechnen.
Die Fläche von Ein Dreieck ist (Höhe × Breite) ÷ 2.
Mit anderen Worten, Sie können die Fläche eines Dreiecks auf die gleiche Weise wie die Fläche für ein Quadrat oder ein Parallelogramm berechnen und dann Ihre Antwort durch 2 teilen
Die Höhe eines Dreiecks wird als rechtwinklige Linie von der unteren Linie (Basis) bis zur Spitze (oberer Punkt) des Dreiecks gemessen.
Hier sind Einige Beispiele:
Die Fläche der drei Dreiecke im obigen Diagramm ist dieselbe.
Jedes Dreieck hat eine Breite und Höhe von 3 cm.
Die Fläche wird berechnet:
(Höhe × Breite) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Die Fläche jedes Dreiecks beträgt 4,5 cm2.
In einer realen Situation Möglicherweise stehen Sie vor einem Problem, bei dem Sie den Bereich eines Dreiecks suchen müssen, z. B.:
Sie möchten das Giebelende einer Scheune streichen. Sie möchten den Dekorationsladen nur einmal besuchen, um die richtige Menge Farbe zu erhalten. Sie wissen, dass ein Liter Farbe 10 m2 Wand bedeckt. Wie viel Farbe benötigen Sie, um das Giebelende abzudecken?
Sie benötigen drei Messungen:
A – Die Gesamthöhe bis zur Dachspitze.
B – Die Höhe der vertikalen Wände.
C – Die Breite des Gebäudes.
In diesem Beispiel sind die Messungen:
A – 12,4 m
B – 6,6 m
C – 11,6 m
Die nächste Stufe erfordert einige zusätzliche Berechnungen. Stellen Sie sich das Gebäude als zwei Formen vor, ein Rechteck und ein Dreieck. Aus den Messungen, die Sie haben, können Sie die zusätzliche Messung berechnen, die zur Ermittlung der Fläche des Giebelendes erforderlich ist.
Messung D. = 12,4 – 6,6
D = 5,8 m
Sie können jetzt den Bereich der beiden Teile der Wand berechnen:
Bereich des rechteckigen Teils von die Wand: 6,6 × 11,6 = 76,56 m2
Fläche des dreieckigen Teils der Wand: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 m2
Addieren Sie diese beiden Flächen, um die zu finden Gesamtfläche:
76,56 + 33,64 = 110,2 m2
Wie Sie wissen, bedeckt ein Liter Farbe 10 m2 Wand, damit wir herausfinden können, wie viele Liter wir kaufen müssen:
110,2 ÷ 10 = 11,02 Liter.
In der Realität werden Farben möglicherweise nur in 5-Liter- oder 1-Liter-Dosen verkauft, das Ergebnis sind etwas mehr als 11 Liter. Sie könnten versucht sein, auf 11 Liter abzurunden, aber wenn wir die Farbe nicht verwässern, reicht das nicht aus. Sie werden also wahrscheinlich auf den nächsten ganzen Liter aufrunden und zwei 5-Liter-Dosen und zwei 1-Liter-Dosen kaufen, die insgesamt 12 Liter Farbe ergeben. Dies ermöglicht jegliche Verschwendung und lässt den größten Teil eines Liters übrig, um zu einem späteren Zeitpunkt nachgebessert zu werden. Und vergessen Sie nicht, wenn Sie mehr als einen Anstrich auftragen müssen, müssen Sie die Farbmenge für einen Anstrich mit der Anzahl der erforderlichen Anstriche multiplizieren!
Bereiche der Kreise
Um die Fläche eines Kreises zu berechnen, müssen Sie dessen Durchmesser oder Radius kennen.
Die Der Durchmesser eines Kreises ist die Länge einer geraden Linie von einer Seite des Kreises zur anderen, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius (Durchmesser = Radius × 2).
Der Radius eines Kreises ist die Länge einer geraden Linie vom Mittelpunkt des Kreises bis zu seiner Kante. Der Radius beträgt die Hälfte des Durchmessers. (Radius = Durchmesser ÷ 2)
Sie können den Durchmesser oder Radius an jedem Punkt um den Kreis messen. Wichtig ist, dass Sie mit einer geraden Linie messen, die durch (Durchmesser) verläuft oder bei (Radius) endet. Der Mittelpunkt des Kreises.
In der Praxis ist es beim Messen von Kreisen oft einfacher, den Durchmesser zu messen und dann durch 2 zu teilen, um den Radius zu ermitteln.
Sie benötigen den Radius, um zu arbeiten außerhalb der Fläche eines Kreises lautet die Formel:
Kreisfläche = πR2.
Dies bedeutet:
π = Pi ist eine Konstante, die gleich 3,142 ist.
R = ist der Radius des Kreises.
R2 (Radius im Quadrat) bedeutet Radius × Radius.
Daher hat ein Kreis mit einem Radius von 5 cm eine Fläche von:
3,142 × 5 × 5 = 78,55 cm2.
Ein Kreis mit einem Durchmesser von 3 m hat eine Fläche:
Zuerst berechnen wir die Radius (3 m × 2 = 1,5 m)
Wenden Sie dann die Formel an:
πR2
3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.
Die Fläche eines Kreises mit einem Durchmesser von 3 m beträgt 7,0695 m2.
Letztes Beispiel
Dieses Beispiel Der Inhalt dieser Seite wird zum Lösen einfacher Bereichsprobleme verwendet.
Dies ist der Ruben M. Benjamin House in Bloomington, Illinois, aufgeführt im National Register of Historic Places der Vereinigten Staaten (Datensatznummer: 376599).
In diesem Beispiel wird der Bereich der Vorderseite des Hauses ermittelt, der Holzlattenteil – ausgenommen die Tür und Fenster. Die Messungen, die Sie benötigen, sind:
| A – 9,7 m | B – 7,6 m |
| C – 8,8 m | D – 4,5 m |
| E – 2,3 m | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Hinweise:
- Alle Messungen sind ungefähre Angaben.
- Sie müssen sich keine Sorgen um die Grenze um das Haus machen – dies wurde nicht in die Messungen einbezogen.
- Wir gehen davon aus, dass alle rechteckigen Fenster dieselbe Größe haben.
- Das runde Fenstermaß ist der Durchmesser des Fensters.
- Das Maß für die Tür umfasst die Stufen.
Wie groß ist die Fläche des Holzlattenteils? des Hauses?
Funktionsweise und Antworten unten:
Antworten auf das obige Beispiel
Erarbeiten Sie zunächst den Bereich der Hauptleitung Form des Hauses – das sind das Rechteck und das Dreieck, aus denen die Form besteht.
Das Hauptrechteck (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88 m2.
Die Höhe des Dreieck ist (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
Die Fläche des Dreiecks ist daher (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 m2.
Die kombinierte Gesamtfläche der Vorderseite des Hauses ist die Summe der Flächen des Rechtecks und des Dreiecks:
66,88 + 9,24 = 76,12 m2.
Berechnen Sie als Nächstes die Bereiche der Fenster und Türen, damit sie vom gesamten Bereich abgezogen werden können.
Der Bereich der Tür und der Stufen beträgt (D × E) 4.5 × 2,3 = 10,35 m2.
Die Fläche eines rechteckigen Fensters beträgt (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 m2.
Es gibt fünf rechteckige Fenster. Multiplizieren Sie die Fläche eines Fensters mit 5.
3,24 × 5 = 16,2 m2. (die Gesamtfläche der rechteckigen Fenster).
Das runde Fenster hat einen Durchmesser von 1 m, sein Radius beträgt daher 0,5 m.
Berechnen Sie mit πR2 die Fläche des runden Fensters : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855 m2.
Addieren Sie als Nächstes die Bereiche der Tür und der Fenster.
(Türbereich) 10,35 + (rechteckiger Fensterbereich) 16,2 + (runder Fensterbereich) 0,7855 = 27,3355
Subtrahieren Sie abschließend die Gesamtfläche für die Fenster und Türen von der Gesamtfläche.
76,12 – 27,3355 = 48,7845
Die Fläche der Holzlattenfront der Haus, und die Antwort auf das Problem lautet: 48,7845 m2.
Möglicherweise möchten Sie die Antwort auf 48,8 m2 oder 49 m2 aufrunden.
Siehe unsere Seite zu Schätzung, Annäherung und Rundung.