La zone est une mesure de lespace quil y a à lintérieur dune forme. Le calcul de la surface dune forme ou dune surface peut être utile dans la vie de tous les jours – par exemple, vous devrez peut-être savoir combien de peinture acheter pour couvrir un mur ou combien de graines de gazon vous avez besoin pour semer une pelouse.
Cette page couvre les éléments essentiels que vous devez connaître pour comprendre et calculer les aires des formes courantes, y compris les carrés et les rectangles, les triangles et les cercles.
Calcul de laire à laide de la méthode de la grille
Quand une forme est dessinée sur une grille mise à léchelle, vous pouvez trouver la zone en comptant le nombre de carrés de la grille à lintérieur de la forme.
Dans cet exemple, il y a 10 carrés de grille à lintérieur du rectangle.
Dans lordre Pour trouver une valeur de surface en utilisant la méthode de la grille, nous devons connaître la taille que représente un carré de la grille.
Cet exemple utilise des centimètres, mais la même méthode sapplique pour toute unité de longueur ou de distance. Vous pouvez, par exemple, utiliser des pouces, des mètres, des miles, des pieds, etc.
Dans cet exemple, chaque carré de la grille a un largeur de 1 cm et hauteur de 1 cm. En dautres termes, chaque carré de la grille est dun « centimètre carré ».
Comptez les carrés de la grille à lintérieur du grand carré pour trouver sa surface ..
Il y a 16 petits carrés donc la surface de le grand carré fait 16 centimètres carrés.
En mathématiques, nous abrégons «centimètres carrés» en cm2. Le 2 signifie «carré».
Chaque carré de la grille mesure 1 cm2.
Laire du grand carré est de 16 cm2.
Compter les carrés sur une grille pour trouver laire fonctionne pour toutes les formes – tant que les tailles de grille sont connues. Cependant, cette méthode devient plus difficile lorsque les formes ne correspondent pas exactement à la grille ou lorsque vous devez compter des fractions de carrés de la grille.
Dans cet exemple, le carré ne rentre pas exactement dans la grille.
Nous pouvons toujours calculer laire en comptant les carrés de la grille.
- Il y a 25 carrés de grille complets ( ombré en bleu).
- 10 demi-carrés (ombrés en jaune) – 10 demi-carrés équivaut à 5 carrés complets.
- Il y a aussi 1 quart de carré (ombré en vert ) – (¼ ou 0,25 dun carré entier).
- Additionnez les carrés entiers et les fractions ensemble: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Laire de ce carré est donc 30,25 cm2.
Vous pouvez également écrire cela comme 30¼ cm2.
Bien que lutilisation dune grille et le comptage des carrés dans une forme soit un moyen très simple dapprendre les concepts de laire est moins utile pour trouver des zones exactes avec des formes plus complexes, lorsquil peut y avoir plusieurs fractions de carrés de grille à additionner.
La zone peut être calculée à laide de formules simples, en fonction du type de forme avec laquelle vous travaillez.
Le reste de cette page explique et donne des exemples sur la façon de calculer la surface dun forme sans utiliser le système de grille.
Aires de quadrilatères simples: carrés et rectangles et parallélogrammes
Les calculs de surface les plus simples (et les plus couramment utilisés) concernent les carrés et les rectangles.
Pour trouver laire dun rectangle, multipliez sa hauteur par sa largeur.
Pour un carré, il suffit de trouver la longueur dun des côtés (chaque côté étant de la même longueur) puis multipliez cela par lui-même pour trouver la zone. Cela revient à dire longueur2 ou longueur au carré.
Il est recommandé de vérifier quune forme est en fait un carré en mesurant deux côtés. Par exemple, le mur dune pièce peut ressembler à un carré, mais lorsque vous le mesurez, vous trouvez quil sagit en fait dun rectangle.
Souvent, dans la vraie vie, les formes peuvent être plus complexes. Par exemple, imaginez que vous vouliez trouver la surface dun sol, afin de pouvoir commander la bonne quantité de tapis.
Un plan détage typique dune pièce ne peut pas consister en un simple rectangle ou un carré:
Dans cet exemple, et dautres exemples similaires, lastuce consiste à diviser la forme en plusieurs rectangles ( ou carrés). Peu importe la façon dont vous divisez la forme – lune des trois solutions aboutira à la même réponse.
Les solutions 1 et 2 nécessitent que vous fassiez deux formes et que vous ajoutiez leurs zones ensemble pour trouver la surface totale .
Pour la solution 3, vous créez une forme plus grande (A) et en soustrayez la forme plus petite (B) pour trouver la zone.
Un autre problème courant est de trouver la zone dune bordure – une forme dans une autre forme.
Cet exemple montre un chemin autour dun champ – le chemin fait 2 m de large.
Encore une fois, il y a plusieurs façons de calculer la zone du chemin dans cet exemple.
Vous pouvez afficher le chemin sous forme de quatre rectangles séparés, calculer leurs dimensions puis leur surface et enfin additionner les zones ensemble pour donner un total.
A Le moyen le plus rapide serait de travailler sur laire de la forme entière et laire du rectangle interne.Soustrayez la zone du rectangle interne de lensemble en laissant la zone du chemin.
- La zone de la forme entière fait 16m × 10m = 160m2.
- Nous pouvons calculer les dimensions de la section médiane car nous savons que le chemin autour du bord mesure 2 m de large.
- La largeur de la forme entière est 16 m et la largeur du chemin sur toute la forme est de 4 m (2 m à gauche de la forme et 2 m à droite). 16m – 4m = 12m
- On peut faire de même pour la hauteur: 10m – 2m – 2m = 6m
- Nous avons donc calculé que le rectangle du milieu est de 12m × 6m.
- Laire du rectangle du milieu est donc: 12m × 6m = 72m2.
- Enfin, on éloigne laire du rectangle du milieu de laire de la forme entière. 160 – 72 = 88m2.
La superficie du chemin est de 88m2.
Un parallélogramme est une forme à quatre côtés avec deux paires de côtés de même longueur – par définition un rectangle est un type de parallélogramme. Cependant, la plupart des gens ont tendance à considérer les parallélogrammes comme des formes à quatre côtés avec des lignes inclinées, comme illustré ici.
La zone dun parallélogramme est calculé de la même manière que pour un rectangle (hauteur × largeur) mais il est important de comprendre que la hauteur ne signifie pas la longueur des côtés verticaux (ou non verticaux) mais la distance entre les côtés.
À partir du diagramme, vous pouvez voir que la hauteur est la distance entre les côtés supérieur et inférieur de la forme – pas la longueur du côté.
Pensez à une ligne imaginaire, à angle droit, entre les côtés supérieur et inférieur. Cest la hauteur.
Aires de triangles
Il peut être utile de considérer un triangle comme la moitié dun carré ou dun parallélogramme.
En supposant que vous connaissiez (ou que vous puissiez mesurer) les dimensions dun triangle, vous pouvez rapidement déterminer son aire.
Laire de un triangle est (hauteur × largeur) ÷ 2.
En dautres termes, vous pouvez calculer laire dun triangle de la même manière que laire dun carré ou dun parallélogramme, puis divisez simplement votre réponse par 2 .
La hauteur dun triangle est mesurée comme une ligne à angle droit allant de la ligne inférieure (base) au sommet (point supérieur) du triangle.
Voici quelques exemples:
Laire des trois triangles dans le diagramme ci-dessus est la même.
Chaque triangle a une largeur et une hauteur de 3 cm.
Laire est calculée:
(hauteur × largeur) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Laire de chaque triangle est de 4,5 cm2.
En situation réelle Vous pouvez être confronté à un problème qui vous oblige à trouver laire dun triangle, tel que:
Vous voulez peindre le pignon dune grange. Vous ne voulez visiter le magasin de décoration quune seule fois pour obtenir la bonne quantité de peinture. Vous savez quun litre de peinture couvrira 10m2 de mur. De combien de peinture avez-vous besoin pour recouvrir le pignon?
Vous avez besoin de trois mesures:
A – La hauteur totale jusquau sommet du toit.
B – La hauteur des murs verticaux.
C – La largeur du bâtiment.
Dans cet exemple, les mesures sont:
A – 12,4m
B – 6,6m
C – 11,6m
La prochaine étape nécessite quelques calculs supplémentaires. Considérez le bâtiment comme deux formes, un rectangle et un triangle. À partir des mesures que vous avez, vous pouvez calculer la mesure supplémentaire nécessaire pour déterminer la surface du pignon.
Mesure D = 12,4 – 6,6
D = 5,8m
Vous pouvez maintenant calculer laire des deux parties du mur:
Aire de la partie rectangulaire de le mur: 6,6 × 11,6 = 76,56 m2
Aire de la partie triangulaire du mur: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 m2
Additionnez ces deux zones pour trouver le surface totale:
76,56 + 33,64 = 110,2 m2
Comme vous le savez, un litre de peinture couvre 10 m2 de mur afin que nous puissions déterminer combien de litres nous devons acheter:
110,2 ÷ 10 = 11,02 litres.
En réalité, vous constaterez peut-être que la peinture nest vendue quen bidons de 5 litres ou 1 litre, le résultat est un peu plus de 11 litres. Vous serez peut-être tenté d’arrondir à 11 litres, mais en supposant que nous ne diluions pas la peinture, cela ne suffira pas. Vous arrondirez donc probablement au litre entier suivant et achèterez deux bidons de 5 litres et deux bidons de 1 litre pour un total de 12 litres de peinture. Cela permettra déviter tout gaspillage et laissera la plus grande partie dun litre pour les retouches à une date ultérieure. Et noubliez pas, si vous devez appliquer plus dune couche de peinture, vous devez multiplier la quantité de peinture pour une couche par le nombre de couches nécessaires!
Zones de cercles
Pour calculer laire dun cercle, vous devez connaître son diamètre ou son rayon.
Le le diamètre dun cercle est la longueur dune ligne droite dun côté du cercle à lautre qui passe par le point central du cercle.Le diamètre est le double de la longueur du rayon (diamètre = rayon × 2)
Le rayon dun cercle est la longueur dune ligne droite allant du point central du cercle à son bord. Le rayon est la moitié du diamètre. (rayon = diamètre ÷ 2)
Vous pouvez mesurer le diamètre ou le rayon en tout point autour du cercle – limportant est de mesurer en utilisant une ligne droite qui passe à travers (diamètre) ou se termine à (rayon) le centre du cercle.
En pratique, lors de la mesure des cercles, il est souvent plus facile de mesurer le diamètre, puis de le diviser par 2 pour trouver le rayon.
Vous avez besoin du rayon pour travailler hors de laire dun cercle, la formule est:
circle area = πR2.
Cela signifie:
π = Pi est une constante égale à 3,142.
R = est le rayon du cercle.
R2 (rayon au carré) signifie rayon × rayon.
Par conséquent, un cercle avec un rayon de 5 cm a un aire de:
3,142 × 5 × 5 = 78,55 cm2.
Un cercle dun diamètre de 3 m a une aire:
Premièrement, nous calculons la rayon (3m ÷ 2 = 1.5m)
Ensuite, appliquez la formule:
πR2
3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.
Laire dun cercle dun diamètre de 3 m est de 7,0695 m2.
Exemple final
Cet exemple e tire sur une grande partie du contenu de cette page pour résoudre des problèmes de zone simples.
Voici le Ruben M . Benjamin House à Bloomington Illinois, répertorié sur le registre national des lieux historiques des États-Unis (numéro denregistrement: 376599).
Cet exemple consiste à trouver la zone de la façade de la maison, la partie à lattes de bois – à lexclusion la porte et les fenêtres. Les mesures dont vous avez besoin sont:
| A – 9,7 m | B – 7,6 m |
| C – 8,8 m | D – 4,5 m |
| E – 2,3 m | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Remarques:
- Toutes les mesures sont approximatives.
- Il ny a pas lieu de sinquiéter de la bordure autour de la maison – cela na pas été inclus dans les mesures.
- Nous supposons que toutes les fenêtres rectangulaires ont la même taille.
- La mesure de la fenêtre ronde est le diamètre de la fenêtre.
- La mesure de la porte comprend les marches.
Quelle est la surface de la partie à lattes de bois de la maison?
Fonctionnement et réponses ci-dessous:
Réponses à lexemple ci-dessus
Tout dabord, déterminez laire de la principale forme de la maison – cest-à-dire le rectangle et le triangle qui composent la forme.
Le rectangle principal (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88 m2.
La hauteur du triangle est (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
Laire du triangle est donc (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 m2.
La superficie totale combinée de la façade de la maison est la somme des aires du rectangle et du triangle:
66,88 + 9,24 = 76,12 m2.
Ensuite, calculez les zones des fenêtres et des portes, afin quelles puissent être soustraites de la zone complète.
La zone de la porte et des marches est (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 m2.
La surface dune fenêtre rectangulaire est (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 m2.
Il y a cinq fenêtres rectangulaires. Multipliez la surface dune fenêtre par 5.
3,24 × 5 = 16,2 m2. (la surface totale des fenêtres rectangulaires).
La fenêtre ronde a un diamètre de 1 m son rayon est donc de 0,5 m.
En utilisant πR2, calculez laire de la fenêtre ronde : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855 m2.
Additionnez ensuite les zones de la porte et des fenêtres.
(zone de la porte) 10,35 + (zone des fenêtres rectangulaires) 16,2 + (zone de la fenêtre ronde) 0,7855 = 27,3355
Enfin, soustrayez la surface totale des fenêtres et des portes de la surface totale.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
La surface de la façade à lattes de bois du maison, et la réponse au problème est: 48,7845 m2.
Vous pouvez arrondir la réponse à 48,8 m2 ou 49 m2.
Consultez notre page sur l’estimation, l’approximation et l’arrondi.