Areal er et mål av hvor mye plass det er inne i en form. Å beregne arealet på en form eller overflate kan være nyttig i hverdagen – for eksempel må du kanskje vite hvor mye maling du skal kjøpe for å dekke en vegg, eller hvor mye gressfrø du trenger for å så en plen.
Denne siden dekker det viktigste du trenger å vite for å forstå og beregne områdene med vanlige former, inkludert firkanter og rektangler, trekanter og sirkler.
Beregning av areal ved hjelp av rutenettmetoden
Når en form er tegnet på et skalert rutenett, du kan finne området ved å telle antall rutenett kvadrater inne i formen.
I dette eksemplet er det 10 rutenettfelt inne i rektangelet.
I rekkefølge for å finne en arealverdi ved hjelp av rutenettmetoden, må vi vite størrelsen som et rutenett representerer.
Dette eksemplet bruker centimeter, men den samme metoden gjelder for alle enheter av lengde eller avstand. Du kan for eksempel bruke tommer, meter, miles, føtter osv.
I dette eksemplet har hvert rutenett et bredde på 1 cm og en høyde på 1 cm. Med andre ord er hvert rutenett en «kvadratcentimeter».
Teller rutenett kvadratene inne i det store kvadratet for å finne sitt område ..
Det er 16 små firkanter så området av det store kvadratet er 16 kvadratcentimeter.
I matematikk forkorter vi «kvadratcentimeter» til cm2. 2 betyr kvadrat.
Hvert rutenett kvadrat er 1 cm2.
Området for det store kvadratet er 16 cm2.
Å telle firkanter på et rutenett for å finne området fungerer for alle former – så lenge rutenettstørrelsene er kjent. Denne metoden blir imidlertid mer utfordrende når former ikke passer nøyaktig til rutenettet, eller når du trenger å telle brøker av rutenett.
I dette eksemplet passer ikke firkanten nøyaktig på rutenettet.
Vi kan fortsatt beregne arealet ved å telle rutenett.
- Det er 25 hele rutenett ( skyggelagt i blått.
- 10 halve rutenettfelter (skyggelagt i gult) – 10 halve firkanter er det samme som 5 fulle firkanter.
- Det er også 1 kvart kvadrat (skyggelagt i grønt ) – (¼ eller 0,25 av et helt kvadrat).
- Legg hele kvadratene og brøkene sammen: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Området for dette kvadrat er derfor 30,25 cm2.
Du kan også skrive dette som 30¼cm2.
Selv om det å bruke et rutenett og telle firkanter i en form, er det en veldig enkel måte å lære begrepene areal på er mindre nyttig for å finne eksakte områder med mer komplekse former, når det kan være mange brøkdeler av rutenett å legge sammen.
Område kan beregnes ved hjelp av enkle formler, avhengig av hvilken form du jobber med.
Resten av denne siden forklarer og gir eksempler på hvordan du beregner arealet til en form uten å bruke rutenettet.
Områder med enkle firkanter: Kvadrater og rektangler og parallellogram
De enkleste (og mest brukte) arealberegningene er for firkanter og rektangler.
For å finne arealet til et rektangel må du multiplisere høyden med bredden.
For et kvadrat trenger du bare å finne lengden på en av sidene (siden hver side har samme lengde) og deretter multiplisere dette med seg selv for å finne området. Dette er det samme som å si lengde2 eller lengde i kvadrat.
Det er god praksis å kontrollere at en form faktisk er en firkant ved å måle to sider. Veggen i et rom kan for eksempel se ut som et kvadrat, men når du måler det, finner du at det faktisk er et rektangel.
Ofte, i det virkelige liv, kan former være mer komplekse. Tenk deg for eksempel at du vil finne arealet til et gulv, slik at du kan bestille riktig mengde teppe.
En typisk planløsning av et rom består kanskje ikke av et enkelt rektangel eller firkant:
I dette eksemplet, og andre eksempler som det, er trikset å dele formen i flere rektangler ( eller firkanter). Det spiller ingen rolle hvordan du deler formen – noen av de tre løsningene vil gi det samme svaret.
Løsning 1 og 2 krever at du lager to former og legger til områdene deres for å finne det totale arealet .
For løsning 3 lager du en større form (A) og trekker den mindre formen (B) fra den for å finne området.
Et annet vanlig problem er å finne området av en kant – en form i en annen form.
Dette eksemplet viser en sti rundt et felt – stien er 2 m bred.
Igjen, det er flere måter å trene området på av stien i dette eksemplet.
Du kan se stien som fire separate rektangler, beregne dimensjonene og deretter deres areal og til slutt legge til områdene sammen for å gi et totalt.
A raskere måte ville være å utarbeide området med hele formen og området til det indre rektangelet.Trekk det indre rektangelområdet fra hele det som forlater stien.
- Området for hele formen er 16m × 10m = 160m2.
- Vi kan beregne dimensjonene til midtsnittet fordi vi vet at banen rundt kanten er 2m bred.
- Bredden på hele formen er 16m og bredden på stien over hele formen er 4m (2m til venstre for formen og 2m til høyre). 16m – 4m = 12m
- Vi kan gjøre det samme for høyden: 10m – 2m – 2m = 6m
- Så vi har beregnet at midtre rektangel er 12m × 6m.
- Arealet til det midtre rektangelet er derfor: 12m × 6m = 72m2.
- Til slutt tar vi området til det midtre rektangelet bort fra området til hele formen. 160 – 72 = 88m2.
Området til stien er 88m2.
Et parallellogram er en firesidig form med to sidepar med like lengde – etter definisjon et rektangel er en type parallellogram. De fleste har imidlertid en tendens til å tenke på parallellogrammer som firesidige former med vinklede linjer, som illustrert her.
Området av et parallellogram beregnes på samme måte som for et rektangel (høyde × bredde), men det er viktig å forstå at høyde ikke betyr lengden på de vertikale (eller utenfor vertikale) sidene, men avstanden mellom sidene.
Fra diagrammet kan du se at høyden er avstanden mellom topp- og undersiden av formen – ikke lengden på siden.
Tenk på en imaginær linje, i rett vinkel, mellom øvre og nedre side. Dette er høyden.
Områder med trekanter
Det kan være nyttig å tenke på en trekant som halvparten av et kvadrat eller parallellogram.
Forutsatt at du vet (eller kan måle) dimensjonene til en trekant, kan du raskt regne ut området.
Området til en trekant er (høyde × bredde) ÷ 2.
Med andre ord kan du regne ut området til en trekant på samme måte som området for et kvadrat eller parallellogram, så er det bare å dele svaret ditt med 2 .
Høyden til en trekant måles som en rettvinklet linje fra bunnlinjen (basen) til toppunktet (toppunktet) i trekanten.
Her er noen eksempler:
Arealet til de tre trekantene i diagrammet ovenfor er det samme.
Hver trekant har en bredde og høyde på 3 cm.
Arealet beregnes:
(høyde × bredde) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Arealet til hver trekant er 4,5 cm2.
I den virkelige situasjonen ioner du kan bli utsatt for et problem som krever at du finner området til en trekant, for eksempel:
Du vil male gavlenden på en låve. Du vil bare besøke dekorasjonsbutikken en gang for å få riktig mengde maling. Du vet at en liter maling vil dekke 10m2 vegg. Hvor mye maling trenger du for å dekke gavlenden?
Du trenger tre målinger:
A – Den totale høyden til toppunktet på taket.
B – Høyden på de vertikale veggene.
C – Bygningens bredde.
I dette eksemplet er målene:
A – 12,4m
B – 6,6m
C – 11,6m
Neste trinn krever noen tilleggsberegninger. Tenk på bygningen som to former, et rektangel og en trekant. Fra målingene du har, kan du beregne den ekstra målingen som trengs for å beregne arealet til gavlenden.
Måling D = 12,4 – 6,6
D = 5,8m
Du kan nå beregne arealet til de to delene av veggen:
Arealet av den rektangulære delen av veggen: 6,6 × 11,6 = 76,56m2
Areal av den trekantede delen av veggen: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64m2
Legg disse to områdene sammen for å finne totalt areal:
76,56 + 33,64 = 110,2m2
Som du vet at en liter maling dekker 10m2 vegg slik at vi kan finne ut hvor mange liter vi trenger å kjøpe:
110,2 ÷ 10 = 11,02 liter.
I virkeligheten kan du oppleve at maling kun selges i 5 liter eller 1 liters bokser, resultatet er litt over 11 liter. Du kan bli fristet til å runde ned til 11 liter, men forutsatt at vi ikke vanner ned malingen, vil det ikke være nok. Så du vil sannsynligvis runde opp til neste hele liter og kjøpe to 5 liters bokser og to 1 liters bokser som totalt gir 12 liter maling. Dette vil gi rom for eventuelt svinn og la det meste av liter ligge igjen for å røre opp på et senere tidspunkt. Og ikke glem at hvis du trenger å påføre mer enn ett strøk maling, må du multiplisere mengden maling for ett strøk med antall strøk som kreves!
Sirkelområder
For å beregne arealet til en sirkel, må du vite diameteren eller radiusen.
diameteren på en sirkel er lengden på en rett linje fra den ene siden av sirkelen til den andre som passerer gjennom midtpunktet i sirkelen.Diameteren er dobbelt så lang som radiusen (diameter = radius × 2)
Radiusen til en sirkel er lengden på en rett linje fra sirkelpunktet til kanten. Radien er halvparten av diameteren. (radius = diameter ÷ 2)
Du kan måle diameteren eller radiusen når som helst rundt sirkelen – det viktigste er å måle ved hjelp av en rett linje som går gjennom (diameter) eller slutter ved (radius) sentrum av sirkelen.
I praksis er det ofte lettere å måle diameteren når du måler sirkler, og divider deretter med 2 for å finne radiusen.
Du trenger radiusen for å jobbe ut av området til en sirkel er formelen:
sirkelareal = πR2.
Dette betyr:
π = Pi er en konstant som tilsvarer 3.142.
R = er sirkelens radius.
R2 (radius i kvadrat) betyr radius × radius.
Derfor har en sirkel med en radius på 5 cm en areal på:
3.142 × 5 × 5 = 78.55cm2.
En sirkel med en diameter på 3m har et areal:
Først regner vi ut radius (3m ÷ 2 = 1,5m)
Bruk deretter formelen:
πR2
3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.
Arealet til en sirkel med en diameter på 3m er 7.0695m2.
Avsluttende eksempel
Denne eksemplen e tar i bruk mye av innholdet på denne siden for å løse enkle områdeproblemer.
Dette er Ruben M Benjamin House i Bloomington Illinois, oppført på United States National Register of Historic Places (Record Number: 376599).
Dette eksemplet innebærer å finne området på forsiden av huset, trelatten – unntatt døren og vinduene. Målingene du trenger er:
| A – 9,7m | B – 7,6m |
| C – 8.8m | D – 4.5m |
| E – 2.3m | F – 2.7 m |
| G – 1.2m | H – 1.0m |
Merknader:
- Alle mål er omtrentlige.
- Det er ikke nødvendig å bekymre seg for grensen rundt huset – dette er ikke inkludert i målene.
- Vi antar at alle rektangulære vinduer er like store.
- Målingen for det runde vinduet er diameteren på vinduet.
- Målingen for døren inkluderer trinnene.
Hva er arealet til trelatten av huset?
Arbeid og svar nedenfor:
Svar på eksemplet ovenfor
Først må du regne ut hovedområdet husets form – det er rektangelet og trekanten som utgjør formen.
Hovedrektanglet (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
Høyden på trekanten er (A – B) 9.7 – 7.6 = 2.1.
Arealet av trekanten er derfor (2.1 × C) ÷ 2.
2.1 × 8.8 = 18.48. 18.48 ÷ 2 = 9.24m2.
Det kombinerte fulle arealet på forsiden av huset er summen av områdene til rektangelet og trekanten:
66,88 + 9,24 = 76,12m2.
Deretter trener du områdene til vinduene og dørene, slik at de kan trekkes fra hele området.
Området til døren og trinnene er (D × E) 4.5 × 2.3 = 10.35m2.
Arealet til ett rektangulært vindu er (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24m2.
Det er fem rektangulære vinduer. Multipliser området i ett vindu med 5.
3,24 × 5 = 16,2m2. (det totale arealet til de rektangulære vinduene).
Det runde vinduet har en diameter på 1 m, og radiusen er derfor 0,5 m. : 3.142 × 0.5 × 0.5 =. 0.7855m2.
Legg deretter opp områdene til døren og vinduene.
(dørområde) 10.35 + (rektangel vindueareal) 16.2 + (rundt vindusareal) 0.7855 = 27.3355
Til slutt trekker du det totale arealet for vinduene og dørene fra hele området.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
Området til trelatten foran på huset, og svaret på problemet er: 48.7845m2.
Det kan være lurt å runde svaret opp til 48,8m2 eller 49m2.
Se siden vår om estimering, tilnærming og avrunding.