Larea è una misura di quanto spazio cè allinterno di una forma. Calcolare larea di una forma o di una superficie può essere utile nella vita di tutti i giorni, ad esempio potrebbe essere necessario sapere quanta vernice acquistare per coprire un muro o quanti semi di erba sono necessari per seminare un prato.
Questa pagina tratta gli elementi essenziali che devi conoscere per comprendere e calcolare le aree di forme comuni, inclusi quadrati e rettangoli, triangoli e cerchi.
Calcolo dellarea utilizzando il metodo della griglia
Quando una forma viene disegnata su una griglia in scala puoi trovare larea contando il numero di quadrati della griglia allinterno della forma.
In questo esempio ci sono 10 quadrati della griglia allinterno del rettangolo.
In ordine per trovare un valore di area utilizzando il metodo della griglia, dobbiamo conoscere la dimensione rappresentata da un quadrato della griglia.
Questo esempio utilizza i centimetri, ma lo stesso metodo si applica a qualsiasi unità di lunghezza o distanza. Ad esempio, potresti utilizzare pollici, metri, miglia, piedi ecc.
In questo esempio ogni quadrato della griglia ha un larghezza di 1 cm e altezza di 1 cm. In altre parole, ogni quadrato della griglia è un “centimetro quadrato”.
Conta i quadrati della griglia allinterno del quadrato grande per trovare la sua area ..
Ci sono 16 quadrati piccoli quindi larea di il quadrato grande è di 16 centimetri quadrati.
In matematica abbreviamo “centimetri quadrati” in cm2. Il 2 significa “quadrato”.
Ogni quadrato della griglia è di 1 cm2.
Larea del quadrato grande è di 16 cm2.
Il conteggio dei quadrati su una griglia per trovare larea funziona per tutte le forme – fintanto che le dimensioni della griglia sono note. Tuttavia, questo metodo diventa più impegnativo quando le forme non si adattano esattamente alla griglia o quando è necessario contare le frazioni dei quadrati della griglia.
In questo esempio il quadrato non si adatta esattamente alla griglia.
Possiamo ancora calcolare larea contando i quadrati della griglia.
- Ci sono 25 quadrati completi della griglia ( ombreggiato in blu).
- 10 quadrati a metà griglia (ombreggiati in giallo): 10 quadrati a metà equivalgono a 5 quadrati interi.
- Cè anche 1 quarto di quadrato (ombreggiato in verde ) – (¼ o 0,25 di un quadrato intero).
- Somma i quadrati interi e le frazioni insieme: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Larea di questo quadrato è quindi 30,25 cm2.
Puoi anche scrivere questo valore come 30¼ cm2.
Anche se usare una griglia e contare i quadrati allinterno di una forma è un modo molto semplice per apprendere i concetti di area è meno utile per trovare aree esatte con forme più complesse, quando possono esserci molte frazioni di quadrati della griglia da sommare.
Larea può essere calcolata utilizzando formule semplici, a seconda del tipo di forma con cui stai lavorando.
Il resto di questa pagina spiega e fornisce esempi di come calcolare larea di un forma senza utilizzare il sistema a griglia.
Aree di quadrilateri semplici: quadrati e rettangoli e parallelogrammi
I calcoli di area più semplici (e più comunemente usati) sono per quadrati e rettangoli.
Per trovare larea di un rettangolo, moltiplica la sua altezza per la sua larghezza.
Per un quadrato devi solo trovare la lunghezza di uno dei lati (poiché ogni lato ha la stessa lunghezza) e poi moltiplicalo per se stesso per trovare larea. È come dire lunghezza2 o lunghezza al quadrato.
È buona norma controllare che una forma sia effettivamente un quadrato misurando due lati. Ad esempio, il muro di una stanza può sembrare un quadrato, ma quando lo misuri scopri che in realtà è un rettangolo.
Spesso, nella vita reale, le forme possono essere più complesse. Ad esempio, immagina di voler trovare larea di un pavimento, in modo da poter ordinare la giusta quantità di moquette.
Una tipica planimetria di una stanza potrebbe non essere costituita da un semplice rettangolo o quadrato:
In questo esempio, e in altri simili, il trucco è dividere la forma in diversi rettangoli ( o quadrati). Non importa come dividi la forma: ognuna delle tre soluzioni darà la stessa risposta.
Le soluzioni 1 e 2 richiedono che tu crei due forme e aggiungi le loro aree insieme per trovare larea totale .
Per la soluzione 3 si crea una forma più grande (A) e si sottrae la forma più piccola (B) per trovare larea.
Un altro problema comune è trovare larea di un bordo – una forma allinterno di unaltra forma.
Questo esempio mostra un percorso attorno a un campo – il percorso è largo 2 m.
Anche in questo caso, ci sono diversi modi per calcolare larea del percorso in questo esempio.
È possibile visualizzare il percorso come quattro rettangoli separati, calcolare le loro dimensioni e quindi la loro area e infine sommare le aree insieme per ottenere un totale.
A Il modo più veloce sarebbe calcolare larea dellintera forma e larea del rettangolo interno.Sottrai larea del rettangolo interno dallintera uscita dallarea del tracciato.
- Larea dellintera forma è 16 m × 10 m = 160 m2.
- Possiamo calcolare le dimensioni della sezione centrale perché sappiamo che il percorso attorno al bordo è largo 2 m.
- La larghezza dellintera forma è 16 me la larghezza del percorso attraverso lintera forma è di 4 m (2 m a sinistra della forma e 2 m a destra). 16 m – 4 m = 12 m
- Possiamo fare lo stesso per laltezza: 10 m – 2 m – 2 m = 6 m
- Quindi abbiamo calcolato che il rettangolo centrale è 12 m × 6 m.
- Larea del rettangolo centrale è quindi: 12m × 6m = 72m2.
- Infine allontaniamo larea del rettangolo centrale dallarea dellintera forma. 160 – 72 = 88 m2.
Larea del percorso è di 88 m2.
Un parallelogramma è una forma a quattro lati con due coppie di lati di uguale lunghezza – per definizione un rettangolo è un tipo di parallelogramma. Tuttavia, la maggior parte delle persone tende a pensare ai parallelogrammi come forme a quattro lati con linee angolate, come illustrato qui.
Larea di un parallelogramma viene calcolato allo stesso modo di un rettangolo (altezza × larghezza) ma è importante capire che altezza non significa la lunghezza dei lati verticali (o fuori verticale) ma la distanza tra i lati.
Dal diagramma puoi vedere che laltezza è la distanza tra i lati superiore e inferiore della forma, non la lunghezza del lato.
Pensa a una linea immaginaria, ad angolo retto, tra i lati superiore e inferiore. Questa è laltezza.
Aree di triangoli
Può essere utile pensare a un triangolo come metà di un quadrato o parallelogramma.
Supponendo che tu conosca (o possa misurare) le dimensioni di un triangolo, puoi calcolare rapidamente la sua area.
Larea di un triangolo è (altezza × larghezza) ÷ 2.
In altre parole puoi calcolare larea di un triangolo allo stesso modo dellarea di un quadrato o di un parallelogramma, quindi dividi semplicemente la tua risposta per 2 .
Laltezza di un triangolo è misurata come una linea ad angolo retto dalla linea inferiore (base) all “apice” (punto superiore) del triangolo.
Ecco alcuni esempi:
Larea dei tre triangoli nel diagramma sopra è la stessa.
Ogni triangolo ha una larghezza e unaltezza di 3 cm.
Larea è calcolata:
(altezza × larghezza) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Larea di ciascun triangolo è 4,5 cm2.
Nella vita reale ioni potresti trovarti di fronte a un problema che richiede di trovare larea di un triangolo, come ad esempio:
Vuoi dipingere lestremità del timpano di un granaio. Vuoi visitare il negozio di decorazioni una sola volta per ottenere la giusta quantità di vernice. Sai che un litro di vernice coprirà 10m2 di muro. Di quanta vernice hai bisogno per coprire lestremità del timpano?
Hai bisogno di tre misure:
A – Laltezza totale al vertice del tetto.
B – Laltezza delle pareti verticali.
C – La larghezza delledificio.
In questo esempio le misure sono:
A – 12,4 m
B – 6,6 m
C – 11,6 m
La fase successiva richiede alcuni calcoli aggiuntivi. Pensa alledificio come a due forme, un rettangolo e un triangolo. Dalle misurazioni disponibili puoi calcolare la misura aggiuntiva necessaria per calcolare larea dellestremità del timpano.
Misura D = 12,4 – 6,6
D = 5,8 m
Ora puoi calcolare larea delle due parti del muro:
Area della parte rettangolare del il muro: 6,6 × 11,6 = 76,56 m2
Area della parte triangolare del muro: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 m2
Aggiungi queste due aree insieme per trovare il superficie totale:
76,56 + 33,64 = 110,2 m2
Come sai che un litro di vernice copre 10 m2 di muro, quindi possiamo calcolare quanti litri dobbiamo acquistare:
110,2 ÷ 10 = 11,02 litri.
In realtà potresti scoprire che la vernice viene venduta solo in taniche da 5 litri o da 1 litro, il risultato è poco più di 11 litri. Potresti essere tentato di arrotondare per difetto a 11 litri ma, supponendo che non diluiamo la vernice, non sarà abbastanza. Quindi probabilmente arrotonderai al litro intero successivo e comprerai due lattine da 5 litri e due da 1 litro per un totale di 12 litri di vernice. Ciò consentirà qualsiasi spreco e lascerà la maggior parte di un litro residuo per il ritocco in un secondo momento. E non dimenticare, se devi applicare più di una mano di vernice, devi moltiplicare la quantità di vernice per una mano per il numero di mani richieste!
Aree di cerchi
Per calcolare larea di un cerchio è necessario conoscerne il diametro o il raggio.
Il diametro di un cerchio è la lunghezza di una linea retta da un lato allaltro del cerchio che passa per il punto centrale del cerchio.Il diametro è il doppio della lunghezza del raggio (diametro = raggio × 2)
Il raggio di un cerchio è la lunghezza di una linea retta dal punto centrale del cerchio al suo bordo. Il raggio è la metà del diametro. (raggio = diametro ÷ 2)
Puoi misurare il diametro o il raggio in qualsiasi punto attorno al cerchio – limportante è misurare usando una linea retta che passa per (diametro) o termina a (raggio) il centro del cerchio.
In pratica, quando si misurano i cerchi è spesso più facile misurare il diametro, quindi dividere per 2 per trovare il raggio.
È necessario il raggio per lavorare fuori dallarea di un cerchio, la formula è:
circle area = πR2.
Ciò significa:
π = Pi è una costante uguale a 3.142.
R = è il raggio del cerchio.
R2 (raggio quadrato) significa raggio × raggio.
Pertanto un cerchio con un raggio di 5 cm ha un area di:
3,142 × 5 × 5 = 78,55 cm2.
Un cerchio con un diametro di 3 m ha unarea:
Per prima cosa, calcoliamo raggio (3 m ÷ 2 = 1,5 m)
Quindi applica la formula:
πR2
3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.
Larea di un cerchio con un diametro di 3 m è 7,0695 m2.
Esempio finale
Questo esempio e utilizza gran parte del contenuto di questa pagina per risolvere semplici problemi di area.
Questo è Ruben M . Benjamin House a Bloomington, Illinois, elencata nel Registro nazionale dei luoghi storici degli Stati Uniti (numero di registrazione: 376599).
Questo esempio prevede di trovare larea della parte anteriore della casa, la parte a doghe in legno – esclusa la porta e le finestre. Le misure necessarie sono:
| A – 9,7 m | B – 7,6 m |
| C – 8,8 m | D – 4,5 m |
| E – 2,3 m | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Note:
- Tutte le misure sono approssimative.
- Non è necessario preoccuparsi del bordo intorno alla casa: questo non è stato incluso nelle misure.
- Presumiamo che tutte le finestre rettangolari abbiano le stesse dimensioni.
- La misura della finestra rotonda è il diametro della finestra.
- La misura della porta include i gradini.
Qual è larea della parte a doghe in legno della casa?
Funzionamento e risposte di seguito:
Risposte allesempio precedente
Innanzitutto, calcola larea del principale forma della casa, ovvero il rettangolo e il triangolo che compongono la forma.
Il rettangolo principale (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88 m2.
Laltezza del triangolo è (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
Larea del triangolo è quindi (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 m2.
Larea totale combinata della parte anteriore della casa è la somma delle aree del rettangolo e del triangolo:
66,88 + 9,24 = 76,12 m2.
Quindi, calcola le aree delle finestre e delle porte, in modo che possano essere sottratte dallarea completa.
Larea della porta e dei gradini è (P × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 m2.
Larea di una finestra rettangolare è (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 m2.
Ci sono cinque finestre rettangolari. Moltiplica larea di una finestra per 5.
3,24 × 5 = 16,2 m2. (larea totale delle finestre rettangolari).
La finestra rotonda ha un diametro di 1 m, il suo raggio è quindi 0,5 m.
Utilizzando πR2, calcola larea della finestra rotonda : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855 m2.
Quindi somma le aree della porta e delle finestre.
(area della porta) 10,35 + (area delle finestre rettangolari) 16,2 + (area della finestra rotonda) 0,7855 = 27,3355
Infine, sottrarre larea totale delle finestre e delle porte dallintera area.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
Larea della parte anteriore a doghe di legno del casa e la risposta al problema è: 48,7845 m2.
Puoi arrotondare la risposta fino a 48,8 m2 o 49 m2.
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