Vad är en horisontell asymptot?
En horisontell asymptot är ett y-värde i en graf som en funktionen närmar sig men når faktiskt inte. Här är ett enkelt grafiskt exempel där den grafiska funktionen närmar sig, men aldrig når helt, \ (y = 0 \). Oavsett hur långt du zoomar ut på den här grafen vann den fortfarande ”når noll. Jag bör dock påpeka att horisontella asymptoter bara kan visas i en riktning och kan korsas med små värden på x. De kommer att dyka upp för stora värden och visa trenden för en funktion när x går mot positiv eller negativ oändlighet.
För att hitta horisontella asymptoter kan vi skriva funktionen i form av ”y =”. Du kan förvänta dig att hitta horisontella asymptoter när du planerar en rationell funktion, till exempel: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). De inträffar när grafen för funktionen växer närmare och närmare ett visst värde utan att faktiskt nå det värdet eftersom x blir mycket positivt eller mycket negativt.
För att hitta horisontella asymptoter:
1) Sätt ekvation eller funktion i y = form.
2) Multiplicera ut (expandera) alla faktorerade polynom i täljaren eller nämnaren.
3) Ta bort allt utom de termer med de största exponenterna av x som finns i täljaren och nämnaren. Dessa är de ”dominerande” termerna.
Exempel A:
Hitta de horisontella asymptoterna för: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$
Kom ihåg att horisontella asymptoter visas som x sträcker sig till positiv eller negativ oändlighet, så vi måste ta reda på vad denna fraktion närmar sig när x blir enormt. För att göra det väljer vi de ”dominerande” termerna i täljaren och nämnaren. Dominanta termer är de med de största exponenterna. När x går till oändligheten är de andra termerna för små för att göra stor skillnad.
De största exponenterna i det här fallet är desamma i täljaren och nämnaren (3). De dominerande termerna i varje har en exponent på 3. Bli av med de andra termerna och förenkla sedan genom att stryka \ (x ^ 3 \) i toppen och botten. Kom ihåg att vi inte löser en ekvation här – vi ändrar värdet genom att godtyckligt radera termer, men tanken är att se funktionens gränser när x blir väldigt stort.
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$ 
(Observera att det också finns en vertikal asymptot i denna funktion.)
Om exponenten i nämnaren för funktionen är större än exponenten i täljaren kommer den horisontella asymptoten att vara y = 0, vilket är x-axeln. När x närmar sig positivt eller negativt oändlighet kommer nämnaren att b e mycket, mycket större än täljaren (faktiskt oändligt större) och kommer att göra den totala fraktionen lika med noll.
Om det finns en större exponent i täljaren för en given funktion finns det INGEN horisontell asymptot. Till exempel:
$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$
Det finns INGEN horisontella asymptoter eftersom det finns en STÖRRE exponent i täljaren, vilket är 3. Ser du det? Detta kommer att få funktionen att öka för alltid istället för att närma sig en asymptot. Diagrammet för denna funktion är nedan. Observera att det också finns vertikala asymptoter i diagrammet.
Exempel B:
Hitta de horisontella asymptoterna för: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)
I detta exempel är funktionen i fakturerad form. Vi måste emellertid konvertera funktionen till standardform som anges i ovanstående steg före prov A. Det betyder att vi måste multiplicera den så att vi kan observera de dominerande termerna.
Prov B, i standard form, ser ut så här:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$
Nästa: Följ stegen från tidigare. Vi släpper allt utom de största exponenterna av x som finns i täljaren och nämnaren. Efter att ha gjort det blir ovanstående funktion:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$
Länkar till liknande lektioner från andra webbplatser:
Horisontella asymptoter (Purplemath.com)
Asymptot-kalkylator
Skriv bara din funktion och välj ”Hitta asymptoter” i rullgardinsmenyn. Klicka på svaret för att se alla asymptoter (helt gratis), eller registrera dig för en gratis provperiod för att se de fullständiga detaljerna för lösningen.