Area är ett mått hur mycket utrymme det finns i en form. Att beräkna ytan på en form eller yta kan vara användbart i vardagen – till exempel kan du behöva veta hur mycket färg du ska köpa för att täcka en vägg eller hur mycket gräsfrö du behöver för att så en gräsmatta.
Den här sidan täcker det väsentliga du behöver veta för att förstå och beräkna områdena med vanliga former inklusive fyrkanter och rektanglar, trianglar och cirklar.
Beräkna yta med rutnätmetoden
När en form ritas på ett skalat rutnät kan du hitta området genom att räkna antalet rutnät i rutan.
I det här exemplet finns tio rutor i rektangeln.
I ordning för att hitta ett areavärde med hjälp av rutnätmetoden måste vi veta storleken som en rutnät representerar.
Detta exempel använder centimeter, men samma metod gäller för alla enheter av längd eller avstånd. Du kan till exempel använda tum, meter, miles, fot osv.
I detta exempel har varje rutnät en bredd 1 cm och höjd 1 cm. Med andra ord är varje rutnät en ”kvadratcentimeter”.
Räkna rutnätsrutorna inuti det stora torget för att hitta dess yta ..
Det finns 16 små rutor så området för det stora torget är 16 kvadratcentimeter.
I matematik förkortar vi ”kvadratcentimeter” till cm2. 2 betyder ”kvadrat”.
Varje rutnät är 1 cm2.
Området för det stora torget är 16 cm2.
Räknar rutor på ett rutnät för att hitta området fungerar för alla former – så länge nätstorlekarna är kända. Denna metod blir dock mer utmanande när former inte passar exakt i rutnätet eller när du behöver räkna bråk av rutor.
I det här exemplet passar inte kvadraten exakt in i gallret.
Vi kan fortfarande beräkna ytan genom att räkna rutnät.
- Det finns 25 fulla rutor ( skuggad i blått.
- 10 halva rutfält (skuggade i gult) – 10 halva rutor är detsamma som 5 hela rutor.
- Det finns också en fjärdedel fyrkant (skuggad i grönt ) – (¼ eller 0,25 av en hel kvadrat).
- Lägg till hela kvadraterna och fraktionerna tillsammans: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Området för detta kvadrat är därför 30,25 cm2.
Du kan också skriva detta som 30¼cm2.
Även om du använder ett rutnät och räknar kvadrater i en form är det ett mycket enkelt sätt att lära sig begreppen yta. är mindre användbart för att hitta exakta områden med mer komplexa former, när det kan finnas många fraktioner av rutor i rutorna.
Område kan beräknas med enkla formler, beroende på vilken typ av form du arbetar med.
Resten av denna sida förklarar och ger exempel på hur man beräknar ytan på en form utan att använda rutnätet.
Områden för enkla fyrkantiga sidor: kvadrater och rektanglar och parallellogram
De enklaste (och mest använda) områdesberäkningarna är för kvadrater och rektanglar.
För att hitta området för en rektangel, multiplicera dess höjd med dess bredd.
För en kvadrat behöver du bara hitta längden på en av sidorna (eftersom varje sida har samma längd) och multiplicera sedan detta själv för att hitta området. Det här är samma som att säga längd2 eller längd i kvadrat.
Det är bra att kontrollera att en form faktiskt är en kvadrat genom att mäta två sidor. Till exempel kan ett vägg i ett rum se ut som en fyrkant, men när du mäter det hittar du att det faktiskt är en rektangel.
Ofta, i verkligheten, kan former vara mer komplexa. Tänk dig till exempel att du vill hitta ytan på ett golv så att du kan beställa rätt mängd matta.
En typisk planritning i ett rum kanske inte består av en enkel rektangel eller kvadrat:
I det här exemplet och andra liknande exempel är tricket att dela upp formen i flera rektanglar ( eller rutor). Det spelar ingen roll hur du delar upp formen – någon av de tre lösningarna kommer att resultera i samma svar.
Lösning 1 och 2 kräver att du gör två former och lägger till deras områden tillsammans för att hitta den totala ytan .
För lösning 3 skapar du en större form (A) och subtraherar den mindre formen (B) från den för att hitta området.
Ett annat vanligt problem är att hitta området av en kant – en form i en annan form.
Detta exempel visar en bana runt ett fält – banan är 2 m bred.
Återigen finns det flera sätt att träna ut området av banan i detta exempel.
Du kan se banan som fyra separata rektanglar, beräkna deras dimensioner och sedan deras yta och slutligen lägga till områdena för att ge en total.
A snabbare sätt skulle vara att räkna ut hela formens område och den inre rektangelns område.Subtrahera det inre rektangelområdet från hela det som lämnar området för banan.
- Området för hela formen är 16m × 10m = 160m2.
- Vi kan räkna ut mitten av sektionen eftersom vi vet att banan runt kanten är 2m bred.
- Bredden på hela formen är 16m och banans bredd över hela formen är 4m (2m till vänster om formen och 2m till höger). 16m – 4m = 12m
- Vi kan göra samma sak för höjden: 10m – 2m – 2m = 6m
- Så vi har beräknat att den mellersta rektangeln är 12m × 6m.
- Den mellersta rektangelns yta är därför: 12m × 6m = 72m2.
- Slutligen tar vi den mellersta rektangelns område bort från området för hela formen. 160 – 72 = 88m2.
Stigområdet är 88m2.
Ett parallellogram är en fyrsidig form med två sidpar med lika längd – med definition en rektangel är en typ av parallellogram. Men de flesta tenderar att tänka på parallellogram som fyrsidiga former med vinklade linjer, som illustreras här.
Området av ett parallellogram beräknas på samma sätt som för en rektangel (höjd × bredd) men det är viktigt att förstå att höjd inte betyder längden på de vertikala (eller utanför vertikala) sidorna utan avståndet mellan sidorna.
Från diagrammet kan du se att höjden är avståndet mellan formens övre och nedre sida – inte längden på sidan.
Tänk på en imaginär linje, i rät vinkel, mellan övre och nedre sidan. Det här är höjden.
Områden med trianglar
Det kan vara bra att tänka på en triangel som hälften av ett kvadrat eller parallellogram.
Förutsatt att du vet (eller kan mäta) dimensionerna på en triangel kan du snabbt räkna ut dess område.
Området för en triangel är (höjd × bredd) ÷ 2.
Med andra ord kan du räkna ut en triangels yta på samma sätt som området för ett kvadrat eller parallellogram, dela bara ditt svar med 2 .
En triangelns höjd mäts som en rätvinklig linje från bottenlinjen (basen) till triangelns topp (toppunkt).
Här är några exempel:
Området för de tre trianglarna i diagrammet ovan är detsamma.
Varje triangel har en bredd och höjd på 3 cm.
Området beräknas:
(höjd × bredd) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Området för varje triangel är 4,5 cm2.
I verkligheten joner du kan möta med ett problem som kräver att du hittar området i en triangel, till exempel:
Du vill måla gaveländen på en ladugård. Du vill bara besöka dekorationsbutiken en gång för att få rätt mängd färg. Du vet att en liter färg täcker 10m2 vägg. Hur mycket färg behöver du för att täcka gaveländen?
Du behöver tre mätningar:
A – Den totala höjden till takets topp.
B – De vertikala väggarnas höjd.
C – Byggnadens bredd.
I detta exempel är mätningarna:
A – 12,4m
B – 6,6m
C – 11,6m
Nästa steg kräver ytterligare beräkningar. Tänk på byggnaden som två former, en rektangel och en triangel. Från de mätningar du har kan du beräkna den ytterligare mätning som behövs för att räkna ut gaveländen.
Mätning D = 12,4 – 6,6
D = 5,8m
Du kan nu räkna ut ytan på väggens två delar:
Område på den rektangulära delen av väggen: 6,6 × 11,6 = 76,56m2
Arean av den triangulära delen av väggen: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64m2
Lägg till dessa två områden för att hitta total yta:
76,56 + 33,64 = 110,2m2
Som ni vet att en liter färg täcker 10m2 vägg så att vi kan räkna ut hur många liter vi behöver köpa:
110,2 ÷ 10 = 11,02 liter.
I verkligheten kanske du tycker att färg bara säljs i burkar på 5 liter eller 1 liter, resultatet är drygt 11 liter. Du kan frestas att runda ner till 11 liter, men förutsatt att vi inte vattnar ner färgen räcker det inte. Så du kommer antagligen att runda upp till nästa hel liter och köpa två 5-liters burkar och två 1-liters burkar som ger totalt 12 liter färg. Detta möjliggör allt slöseri och lämnar större delen av en liter kvar för att röra vid ett senare datum. Och glöm inte, om du behöver applicera mer än ett lager färg måste du multiplicera mängden färg för ett lager med det antal lager som krävs!
Cirkelområden
För att beräkna en cirkels area måste du veta dess diameter eller radie.
diameter på en cirkel är längden på en rak linje från ena sidan av cirkeln till den andra som passerar genom cirkelns mittpunkt.Diametern är dubbelt så lång som radien (diameter = radie × 2)
Radiens radie är längden på en rak linje från cirkelns mittpunkt till dess kant. Radien är hälften av diametern. (radie = diameter ÷ 2)
Du kan mäta diametern eller radien när som helst runt cirkeln – det viktiga är att mäta med en rak linje som passerar genom (diameter) eller slutar vid (radie) i mitten av cirkeln.
I praktiken är det ofta lättare att mäta diametern när du mäter cirklar och sedan dividerar med 2 för att hitta radien.
Du behöver radien för att arbeta ut från en cirkels area är formeln:
cirkelarea = πR2.
Detta betyder:
π = Pi är en konstant som är lika med 3.142.
R = är cirkelns radie.
R2 (radie i kvadrat) betyder radie × radie.
Därför har en cirkel med en radie på 5 cm en område av:
3.142 × 5 × 5 = 78.55cm2.
En cirkel med en diameter på 3m har ett område:
Först räknar vi ut radie (3m ÷ 2 = 1,5m)
Tillämpa sedan formeln:
πR2
3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.
Området för en cirkel med en diameter på 3m är 7,0695m2.
Slutexempel
Detta exempel e använder mycket av innehållet på denna sida för att lösa enkla områdesproblem.
Detta är Ruben M Benjamin House i Bloomington Illinois, listat på United States National Register of Historic Places (Record Number: 376599).
Detta exempel handlar om att hitta området på framsidan av huset, träspalten – exklusive dörren och fönstren. Måtten du behöver är:
| A – 9,7m | B – 7,6m |
| C – 8.8m | D – 4.5m |
| E – 2.3m | F – 2.7 m |
| G – 1.2m | H – 1.0m |
Anmärkningar:
- Alla mått är ungefärliga.
- Det finns ingen anledning att oroa sig för gränsen runt huset – detta har inte inkluderats i måtten.
- Vi antar att alla rektangulära fönster har samma storlek.
- Måttet på det runda fönstret är fönstrets diameter.
- Måttet på dörren omfattar steg.
Vad är ytan på trälatten av huset?
Arbete och svar nedan:
Svar på ovanstående exempel
Räkna först ut huvudområdet husets form – det vill säga rektangeln och triangeln som utgör formen.
Huvudrektangeln (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
Höjden på triangel är (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
Området för triangeln är därför (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18.48 ÷ 2 = 9.24m2.
Det sammanlagda hela området på framsidan av huset är summan av områdena i rektangeln och triangeln:
66,88 + 9,24 = 76,12m2.
Räkna sedan ut fönstrenas och dörrarnas ytor så att de kan subtraheras från hela området.
Dörrens och trappstegets yta är (D × E) 4.5 × 2.3 = 10.35m2.
Området för ett rektangulärt fönster är (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24m2.
Det finns fem rektangulära fönster. Multiplicera området för ett fönster med 5.
3,24 × 5 = 16,2m2. (den totala ytan för de rektangulära fönstren).
Det runda fönstret har en diameter på 1 m, dess radie är därför 0,5 m.
Använd πR2 för att räkna ut området för det runda fönstret : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0.7855m2.
Lägg sedan till dörren och fönstren.
(dörrområde) 10.35 + (rektangelfönsterområde) 16.2 + (runt fönsteryta) 0.7855 = 27.3355
Slutligen subtraherar du den totala ytan för fönstren och dörrarna från hela ytan.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
Området för träspalten på hus, och svaret på problemet är: 48.7845m2.
Du kanske vill runda svaret upp till 48,8m2 eller 49m2.
Se vår sida om uppskattning, approximering och avrundning.