Zona este o măsură din cât spațiu există în interiorul unei forme. Calculul suprafeței unei forme sau a unei suprafețe poate fi util în viața de zi cu zi – de exemplu, poate fi necesar să știți cât de multă vopsea să cumpărați pentru a acoperi un perete sau cât de multă semințe de iarbă trebuie să semănați un gazon.
Această pagină acoperă elementele esențiale pe care trebuie să le cunoașteți pentru a înțelege și a calcula suprafețele formelor comune, inclusiv pătrate și dreptunghiuri, triunghiuri și cercuri.
Calcularea zonei utilizând metoda Grilă
Când o formă este desenată pe o grilă la scară, puteți găsi zona numărând numărul de pătrate ale grilei din interiorul formei.
În acest exemplu există 10 pătrate în interiorul dreptunghiului.
În ordine pentru a găsi o valoare a zonei utilizând metoda rețelei, trebuie să cunoaștem dimensiunea pe care o reprezintă un pătrat de rețea.
Acest exemplu folosește centimetri, dar aceeași metodă se aplică pentru orice unitate de lungime sau distanță. De exemplu, ați putea folosi centimetri, metri, mile, picioare etc.
În acest exemplu fiecare pătrat al grilei are un lățimea de 1cm și înălțimea de 1cm. Cu alte cuvinte, fiecare pătrat al grilei este de un „centimetru pătrat”.
Numărați pătratele din interiorul pătratului mare pentru a-i găsi aria ..
Există 16 pătrate mici, astfel încât aria pătratul mare are 16 centimetri pătrați.
În matematică prescurtăm „centimetri pătrați” la cm2. 2 înseamnă „pătrat”.
Fiecare pătrat de grilă are 1cm2.
Suprafața pătratului mare este de 16cm2.
Numărarea pătratelor pe o grilă pentru a găsi zona funcționează pentru toate formele – atâta timp cât sunt cunoscute dimensiunile grilei. Cu toate acestea, această metodă devine mai provocatoare atunci când formele nu se potrivesc exact cu grila sau când trebuie să numărați fracțiile de pătrate ale grilei.
În acest exemplu, pătratul nu se potrivește exact pe grilă.
Putem totuși să calculăm aria numărând pătratele grilei.
- Există 25 de pătrate complete ( umbrit în albastru).
- 10 pătrate cu jumătate de grilă (umbrite cu galben) – 10 jumătăți de pătrate sunt aceleași cu 5 pătrate pline. ) – (¼ sau 0,25 dintr-un pătrat întreg).
- Adăugați pătratele întregi și fracțiile împreună: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Aria acestui pătratul este, prin urmare, 30,25cm2.
Puteți scrie acest lucru și ca 30¼cm2.
Deși utilizarea unei grile și numărarea pătratelor într-o formă este un mod foarte simplu de a învăța conceptele de zonă este mai puțin util pentru a găsi zone exacte cu forme mai complexe, atunci când pot fi multe fracții de pătrate de rețea de adunat.
Suprafața poate fi calculată folosind formule simple, în funcție de tipul de formă cu care lucrați.
Restul acestei pagini explică și oferă exemple despre cum să calculați aria unei formați fără a utiliza sistemul de rețea.
Zonele quadrilaterelor simple: pătrate și dreptunghiuri și paralelograme
Cele mai simple (și cele mai frecvent utilizate) calcule de suprafață sunt pentru pătrate și dreptunghiuri.
Pentru a găsi aria unui dreptunghi, înmulțiți-l cu lățimea.
Pentru un pătrat trebuie doar să găsiți lungimea uneia dintre laturi (deoarece fiecare parte are aceeași lungime) și apoi înmulțiți acest lucru de la sine pentru a găsi zona. Acesta este același lucru cu a spune lungimea2 sau lungimea pătrată.
Este o practică bună să verificați dacă o formă este de fapt un pătrat măsurând două laturi. De exemplu, peretele unei camere poate arăta ca un pătrat, dar când îl măsurați, constatați că este de fapt un dreptunghi.
Adesea, în viața reală, formele pot fi mai complexe. De exemplu, imaginați-vă că doriți să găsiți suprafața unui etaj, astfel încât să puteți comanda cantitatea potrivită de covor.
Un plan tipic al unei camere poate să nu conste dintr-un dreptunghi simplu sau pătrat:
În acest exemplu și în alte exemple asemănătoare, trucul este să împărțiți forma în mai multe dreptunghiuri ( sau pătrate). Nu contează cum ați împărțit forma – oricare dintre cele trei soluții va avea același răspuns.
Soluția 1 și 2 necesită să creați două forme și să le adăugați împreună pentru a găsi aria totală .
Pentru soluția 3 creați o formă mai mare (A) și scădeți forma mai mică (B) din ea pentru a găsi zona.
O altă problemă comună este găsirea zonei a unei chenare – o formă într-o altă formă.
Acest exemplu arată o cale în jurul unui câmp – calea are o lățime de 2 m.
Din nou, există mai multe moduri de a rezolva zona din calea din acest exemplu.
Puteți vizualiza calea ca patru dreptunghiuri separate, puteți calcula dimensiunile și apoi aria lor și, în final, adăugați zonele împreună pentru a da un total.
A o modalitate mai rapidă ar fi de a elabora aria întregii forme și aria dreptunghiului intern.Scădeți zona dreptunghiului intern din întreg, lăsând zona căii.
- Zona întregii forme are 16m × 10m = 160m2.
- Putem calcula dimensiunile secțiunii din mijloc, deoarece știm că drumul în jurul marginii are o lățime de 2m.
- Lățimea întregii forme este 16m și lățimea căii pe întreaga formă este de 4m (2m în stânga formei și 2m în dreapta). 16m – 4m = 12m
- Putem face același lucru pentru înălțime: 10m – 2m – 2m = 6m
- Deci am calculat că dreptunghiul din mijloc este 12m × 6m.
- Aria dreptunghiului din mijloc este deci: 12m × 6m = 72m2.
- În cele din urmă, luăm aria dreptunghiului din mijloc departe de aria întregii forme. 160 – 72 = 88m2.
Suprafața căii este de 88m2.
Un paralelogram este o formă pe patru fețe cu două perechi de laturi cu lungime egală – de definiție dreptunghi este un tip de paralelogram. Cu toate acestea, majoritatea oamenilor tind să se gândească la paralelogramele ca la forme pe patru fețe cu linii unghiulare, așa cum se ilustrează aici.
Zona a unui paralelogram este calculat în același mod ca și pentru un dreptunghi (înălțime × lățime), dar este important să înțelegem că înălțimea nu înseamnă lungimea laturilor verticale (sau verticală), ci distanța dintre laturi.
Din diagramă puteți vedea că înălțimea este distanța dintre părțile superioare și inferioare ale formei – nu lungimea laturii.
Gândiți-vă la o linie imaginară, în unghi drept, între părțile superioare și inferioare. Aceasta este înălțimea.
Zonele triunghiurilor
Poate fi util să ne gândim la un triunghi drept jumătate de pătrat sau paralelogram.
Presupunând că cunoașteți (sau puteți măsura) dimensiunile unui triunghi, puteți să-i calculați rapid aria.
Zona de un triunghi este (înălțime × lățime) ÷ 2.
Cu alte cuvinte, puteți calcula aria unui triunghi în același mod ca aria unui pătrat sau paralelogram, apoi împărțiți răspunsul la 2 .
Înălțimea unui triunghi este măsurată ca o linie dreptunghiulară de la linia de jos (bază) până la „vârful” (punctul de sus) al triunghiului.
Iată câteva exemple:
Zona celor trei triunghiuri din diagrama de mai sus este aceeași.
Fiecare triunghi are lățimea și înălțimea de 3cm.
Suprafața este calculată:
(înălțimea × lățimea) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4.5
Aria fiecărui triunghi este de 4.5cm2.
În situația reală ioni cu care s-ar putea să vă confruntați cu o problemă care vă cere să găsiți aria unui triunghi, cum ar fi:
Vreți să pictați capătul fronton al unui hambar. Vrei să vizitezi magazinul de decorare o singură dată pentru a obține cantitatea potrivită de vopsea. Știți că un litru de vopsea va acoperi 10m2 de perete. Câtă vopsea aveți nevoie pentru a acoperi capătul frontonului?
Aveți nevoie de trei măsurători:
A – Înălțimea totală până la vârful acoperișului.
B – Înălțimea pereților verticali.
C – Lățimea clădirii.
În acest exemplu, măsurătorile sunt:
A – 12,4m
B – 6,6m
C – 11,6m
Etapa următoare necesită câteva calcule suplimentare. Gândiți-vă la clădire ca la două forme, un dreptunghi și un triunghi. Din măsurătorile pe care le aveți, puteți calcula măsurarea suplimentară necesară pentru a calcula aria capătului frontonului.
Măsurarea D = 12,4 – 6,6
D = 5.8m
Acum puteți calcula aria celor două părți ale peretelui:
Zona părții dreptunghiulare a peretele: 6,6 × 11,6 = 76,56m2
Zona părții triunghiulare a peretelui: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64m2
Adăugați aceste două zone împreună pentru a găsi suprafață totală:
76,56 + 33,64 = 110,2m2
După cum știți, un litru de vopsea acoperă 10m2 de perete, astfel încât să putem stabili câți litri trebuie să cumpărăm:
110,2 ÷ 10 = 11,02 litri.
În realitate, s-ar putea să descoperiți că vopseaua se vinde doar în cutii de 5 litri sau 1 litru, rezultatul fiind puțin peste 11 litri. S-ar putea să fiți tentați să vă rotiți până la 11 litri, dar, presupunând că nu udăm vopseaua, nu va fi suficient. Așadar, probabil veți ajunge la următorul litru întreg și veți cumpăra două cutii de 5 litri și două cutii de 1 litru, făcând un total de 12 litri de vopsea. Acest lucru va permite orice risipă și va lăsa mai mult de un litru rămas pentru retușare la o dată ulterioară. Și nu uitați, dacă trebuie să aplicați mai mult de un strat de vopsea, trebuie să înmulțiți cantitatea de vopsea pentru un strat cu numărul de straturi necesare!
Zonele cercurilor
Pentru a calcula aria unui cerc, trebuie să îi cunoașteți diametrul sau raza.
diametrul unui cerc este lungimea unei linii drepte de la o parte a cercului la cealaltă care trece prin punctul central al cercului.Diametrul este de două ori lungimea razei (diametrul = raza × 2)
Raza unui cerc este lungimea unei linii drepte de la punctul central al cercului până la marginea sa. Raza este jumătate din diametru. (raza = diametrul ÷ 2)
Puteți măsura diametrul sau raza în orice punct din jurul cercului – important este să măsurați folosind o linie dreaptă care trece prin (diametru) sau se termină la (raza) centrul cercului.
În practică, atunci când măsoară cercurile este adesea mai ușor să măsoare diametrul, apoi împarte la 2 pentru a găsi raza.
Ai nevoie de rază pentru a funcționa în zona unui cerc, formula este:
zona cercului = πR2.
Aceasta înseamnă:
π = Pi este o constantă egală cu 3,142.
R = este raza cercului.
R2 (raza pătrată) înseamnă raza × raza.
Prin urmare, un cerc cu o rază de 5cm are o aria de:
3.142 × 5 × 5 = 78.55cm2.
Un cerc cu un diametru de 3m are o suprafață:
Mai întâi, calculăm raza (3m ÷ 2 = 1,5m)
Apoi aplicați formula:
πR2
3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.
Aria unui cerc cu un diametru de 3m este de 7,0695m2.
Exemplu final
Acest examen Trage o mare parte din conținutul acestei pagini pentru a rezolva probleme simple de zonă.
Acesta este Ruben M . Benjamin House din Bloomington Illinois, listată pe Registrul Național al Locurilor Istorice din Statele Unite (Număr înregistrare: 376599).
Acest exemplu implică găsirea zonei din fața casei, a părții cu lamele din lemn – cu excepția ușa și ferestrele. Măsurătorile de care aveți nevoie sunt:
| A – 9.7m | B – 7.6m |
| C – 8.8m | D – 4.5m |
| E – 2.3m | F – 2.7 m |
| G – 1.2m | H – 1.0m |
Note:
- Toate măsurătorile sunt aproximative.
- Nu este nevoie să vă faceți griji cu privire la marginea din jurul casei – acest lucru nu a fost inclus în măsurători.
- Presupunem că toate ferestrele dreptunghiulare au aceeași dimensiune.
- Măsurarea ferestrei rotunde este diametrul ferestrei.
- Măsurarea ușii include treptele.
Care este suprafața părții cu lamele din lemn a casei?
Lucrări și răspunsuri mai jos:
Răspunsuri la exemplul de mai sus
Mai întâi, lucrați zona principalului forma casei – adică dreptunghiul și triunghiul care alcătuiesc forma.
Dreptunghiul principal (B × C) 7.6 × 8.8 = 66.88m2.
Înălțimea triunghiul este (A – B) 9.7 – 7.6 = 2.1.
Aria triunghiului este deci (2.1 × C) ÷ 2.
2.1 × 8.8 = 18.48. 18,48 ÷ 2 = 9,24m2.
Suprafața completă combinată a frontului casei este suma ariilor dreptunghiului și triunghiului:
66,88 + 9,24 = 76,12m2.
Apoi, lucrați zonele ferestrelor și ușilor, astfel încât acestea să poată fi scăzute din zona completă.
Zona ușii și a treptelor este (D × E) 4,5 × 2.3 = 10.35m2.
Suprafața unei ferestre dreptunghiulare este (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24m2.
Există cinci ferestre dreptunghiulare. Înmulțiți zona unei ferestre cu 5.
3.24 × 5 = 16.2m2. (suprafața totală a ferestrelor dreptunghiulare).
Fereastra rotundă are un diametru de 1m raza sa este de aceea 0,5m.
Folosind πR2, calculați aria ferestrei rotunde : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0.7855m2.
Apoi adăugați suprafețele ușii și ferestrelor.
(zona ușii) 10.35 + (zona ferestrelor dreptunghiulare) 16.2 + (zona ferestrei rotunde) 0.7855 = 27.3355
În cele din urmă, scădeți suprafața totală pentru ferestre și uși din zona completă.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
Suprafața din față din lemn house, iar răspunsul la problemă este: 48,7845m2.
Poate doriți să rotunjiți răspunsul până la 48,8m2 sau 49m2.
Consultați pagina noastră despre estimare, aproximare și rotunjire.