A área é uma medida de quanto espaço existe dentro de uma forma. Calcular a área de uma forma ou superfície pode ser útil na vida cotidiana – por exemplo, você pode precisar saber quanta tinta comprar para cobrir uma parede ou quanta semente de grama você precisa para plantar um gramado.
Esta página cobre o essencial que você precisa saber para compreender e calcular as áreas de formas comuns, incluindo quadrados e retângulos, triângulos e círculos.
Calculando a área usando o método de grade
Quando uma forma é desenhada em uma grade em escala. Você pode encontrar a área contando o número de quadrados da grade dentro da forma.
Neste exemplo, existem 10 quadrados de grade dentro do retângulo.
Em ordem para encontrar um valor de área usando o método de grade, precisamos saber o tamanho que um quadrado de grade representa.
Este exemplo usa centímetros, mas o mesmo método se aplica a qualquer unidade de comprimento ou distância. Você poderia, por exemplo, usar polegadas, metros, milhas, pés, etc.
Neste exemplo, cada quadrado da grade tem um largura de 1 cm e altura de 1 cm. Em outras palavras, cada quadrado da grade tem um “centímetro quadrado”.
Conte os quadrados da grade dentro do grande quadrado para encontrar sua área.
Existem 16 pequenos quadrados, então a área de o grande quadrado tem 16 centímetros quadrados.
Em matemática, abreviamos “centímetros quadrados” para cm2. O 2 significa ao quadrado.
Cada quadrado da grade tem 1 cm2.
A área do quadrado grande é 16 cm2.
Contar quadrados em uma grade para encontrar a área funciona para todas as formas – desde que os tamanhos das grades sejam conhecidos. No entanto, esse método se torna mais desafiador quando as formas não se ajustam exatamente à grade ou quando você precisa contar frações dos quadrados da grade.
Neste exemplo, o quadrado não se ajusta exatamente à grade.
Ainda podemos calcular a área contando os quadrados da grade.
- Existem 25 quadrados completos da grade ( sombreado em azul).
- 10 meios quadrados da grade (sombreado em amarelo) – 10 meios quadrados é o mesmo que 5 quadrados inteiros.
- Há também 1 quarto de quadrado (sombreado em verde ) – (¼ ou 0,25 de um quadrado inteiro).
- Some os quadrados inteiros e as frações juntos: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
A área deste quadrado tem, portanto, 30,25cm2.
Você também pode escrever 30¼cm2.
Embora usar uma grade e contar quadrados dentro de uma forma seja uma maneira muito simples de aprender os conceitos de área dela é menos útil para localizar áreas exatas com formas mais complexas, quando pode haver muitas frações de quadrados de grade para somar.
A área pode ser calculada usando fórmulas simples, dependendo do tipo de forma com que você está trabalhando.
O restante desta página explica e dá exemplos de como calcular a área de um forma sem usar o sistema de grade.
Áreas de quadriláteros simples: quadrados e retângulos e paralelogramos
Os cálculos de área mais simples (e mais comumente usados) são para quadrados e retângulos.
Para encontrar a área de um retângulo, multiplique sua altura pela largura.
Para um quadrado, você só precisa encontrar o comprimento de um dos lados (já que cada lado tem o mesmo comprimento) e então multiplique isso por si mesmo para encontrar a área. Isso é o mesmo que dizer comprimento2 ou comprimento ao quadrado.
É uma boa prática verificar se uma forma é na verdade um quadrado medindo dois lados. Por exemplo, a parede de uma sala pode parecer um quadrado, mas quando você a mede, descobre que na verdade é um retângulo.
Freqüentemente, na vida real, as formas podem ser mais complexas. Por exemplo, imagine que você deseja encontrar a área de um piso, para que possa solicitar a quantidade certa de carpete.
Uma planta baixa típica de uma sala pode não consistir em um simples retângulo ou quadrado:
Neste exemplo, e em outros exemplos semelhantes, o truque é dividir a forma em vários retângulos ( ou quadrados). Não importa como você divide a forma – qualquer uma das três soluções resultará na mesma resposta.
As soluções 1 e 2 exigem que você faça duas formas e some suas áreas para encontrar a área total .
Para a solução 3, você faz uma forma maior (A) e subtrai a forma menor (B) dela para encontrar a área.
Outro problema comum é encontrar a área de uma borda – uma forma dentro de outra forma.
Este exemplo mostra um caminho ao redor de um campo – o caminho tem 2 m de largura.
Novamente, existem várias maneiras de trabalhar a área do caminho neste exemplo.
Você pode ver o caminho como quatro retângulos separados, calcular suas dimensões e, em seguida, sua área e, finalmente, somar as áreas para obter um total.
A A maneira mais rápida seria calcular a área de toda a forma e a área do retângulo interno.Subtraia a área do retângulo interno do todo, deixando a área do caminho.
- A área de toda a forma é 16m × 10m = 160m2.
- Podemos calcular as dimensões da seção do meio porque sabemos que o caminho ao redor da borda tem 2m de largura.
- A largura de toda a forma é 16m e a largura do caminho em toda a forma é de 4m (2m à esquerda da forma e 2m à direita). 16m – 4m = 12m
- Podemos fazer o mesmo para a altura: 10m – 2m – 2m = 6m
- Portanto, calculamos que o retângulo do meio é 12m × 6m.
- A área do retângulo do meio é, portanto: 12m × 6m = 72m2.
- Por fim, retiramos a área do retângulo do meio da área de toda a forma. 160 – 72 = 88m2.
A área do caminho é 88m2.
Um paralelogramo é uma forma de quatro lados com dois pares de lados com comprimento igual – por definição um retângulo é um tipo de paralelogramo. No entanto, a maioria das pessoas tende a pensar nos paralelogramos como formas de quatro lados com linhas angulares, conforme ilustrado aqui.
A área de um paralelogramo é calculado da mesma forma que um retângulo (altura × largura), mas é importante entender que altura não significa o comprimento dos lados verticais (ou não verticais), mas a distância entre os lados.
No diagrama, você pode ver que a altura é a distância entre os lados superior e inferior da forma – não o comprimento do lado.
Pense em uma linha imaginária, em ângulos retos, entre os lados superior e inferior. Esta é a altura.
Áreas de triângulos
Pode ser útil pensar em um triângulo como a metade de um quadrado ou paralelogramo.
Supondo que você conheça (ou possa medir) as dimensões de um triângulo, você pode calcular rapidamente sua área.
A área de um triângulo é (altura × largura) ÷ 2.
Em outras palavras, você pode calcular a área de um triângulo da mesma forma que a área de um quadrado ou paralelogramo, então apenas divida sua resposta por 2 .
A altura de um triângulo é medida como uma linha em ângulo reto da linha inferior (base) até o vértice (ponto superior) do triângulo.
Aqui estão alguns exemplos:
A área dos três triângulos no diagrama acima é a mesma.
Cada triângulo tem uma largura e uma altura de 3 cm.
A área é calculada:
(altura × largura) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
A área de cada triângulo é 4,5 cm2.
Na situação da vida real ções, você pode se deparar com um problema que exige que você encontre a área de um triângulo, como:
Você quer pintar a extremidade frontal de um celeiro. Você só quer visitar a loja de decoração uma vez para conseguir a quantidade certa de tinta. Você sabe que um litro de tinta vai cobrir 10m2 de parede. Quanta tinta você precisa para cobrir a extremidade da empena?
Você precisa de três medidas:
A – A altura total até o ápice do telhado.
B – A altura das paredes verticais.
C – A largura do edifício.
Neste exemplo, as medidas são:
A – 12,4 m
B – 6,6 m
C – 11,6 m
A próxima etapa requer alguns cálculos adicionais. Pense na construção como duas formas, um retângulo e um triângulo. A partir das medidas que você tem, você pode calcular a medida adicional necessária para calcular a área da extremidade do frontão.
Medida D = 12,4 – 6,6
D = 5,8m
Agora você pode calcular a área das duas partes da parede:
Área da parte retangular de a parede: 6,6 × 11,6 = 76,56m2
Área da parte triangular da parede: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64m2
Some essas duas áreas para encontrar o área total:
76,56 + 33,64 = 110,2m2
Como você sabe que um litro de tinta cobre 10m2 de parede, podemos calcular quantos litros precisamos comprar:
110,2 ÷ 10 = 11,02 litros.
Na realidade, você pode descobrir que a tinta só é vendida em latas de 5 ou 1 litro, o resultado é pouco mais de 11 litros. Você pode ficar tentado a arredondar para 11 litros, mas, supondo que não diluamos a tinta, isso não será o suficiente. Portanto, você provavelmente arredondará para o próximo litro inteiro e comprará duas latas de 5 litros e duas de 1 litro, totalizando 12 litros de tinta. Isso permitirá qualquer desperdício e deixará a maior parte de um litro sobrando para retocar posteriormente. E não se esqueça, se você precisar aplicar mais de uma demão de tinta, você deve multiplicar a quantidade de tinta para uma demão pelo número de demãos necessárias!
Áreas dos Círculos
Para calcular a área de um círculo, você precisa saber seu diâmetro ou raio.
O diâmetro de um círculo é o comprimento de uma linha reta de um lado do círculo ao outro que passa pelo ponto central do círculo.O diâmetro é duas vezes o comprimento do raio (diâmetro = raio × 2)
O raio de um círculo é o comprimento de uma linha reta do ponto central do círculo até sua borda. O raio é a metade do diâmetro. (raio = diâmetro ÷ 2)
Você pode medir o diâmetro ou raio em qualquer ponto ao redor do círculo – o importante é medir usando uma linha reta que passa por (diâmetro) ou termina em (raio) o centro do círculo.
Na prática, ao medir círculos, geralmente é mais fácil medir o diâmetro e, em seguida, divida por 2 para encontrar o raio.
Você precisa do raio para trabalhar fora da área de um círculo, a fórmula é:
área do círculo = πR2.
Isso significa:
π = Pi é uma constante igual a 3,142.
R = é o raio do círculo.
R2 (raio ao quadrado) significa raio × raio.
Portanto, um círculo com um raio de 5 cm tem um área de:
3,142 × 5 × 5 = 78,55cm2.
Um círculo com um diâmetro de 3m tem uma área:
Primeiro, calculamos o raio (3m ÷ 2 = 1,5m)
Em seguida, aplique a fórmula:
πR2
3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.
A área de um círculo com um diâmetro de 3m é 7.0695m2.
Exemplo final
Este exemplo e extrai muito do conteúdo desta página para resolver problemas de área simples.
Este é o Ruben M . Benjamin House em Bloomington Illinois, listado no Registro Nacional de Locais Históricos dos Estados Unidos (número do registro: 376599).
Este exemplo envolve encontrar a área da frente da casa, a parte de ripas de madeira – excluindo a porta e as janelas. As medidas de que você precisa são:
| A – 9,7 m | B – 7,6 m |
| C – 8,8 m | D – 4,5 m |
| E – 2,3 m | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Observações:
- Todas as medidas são aproximadas.
- Não há necessidade de se preocupar com a borda ao redor da casa – ela não foi incluída nas medidas.
- Presumimos que todas as janelas retangulares são do mesmo tamanho.
- A medida da janela redonda é o diâmetro da janela.
- A medida da porta inclui os degraus.
Qual é a área da parte de ripas de madeira da casa?
Funcionamento e respostas abaixo:
Respostas ao exemplo acima
Primeiro, trabalhe na área do principal forma da casa – que é o retângulo e o triângulo que compõem a forma.
O retângulo principal (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
A altura do triângulo é (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
A área do triângulo é, portanto, (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24m2.
A área total combinada da frente da casa é a soma das áreas do retângulo e do triângulo:
66,88 + 9,24 = 76,12m2.
Em seguida, calcule as áreas das janelas e portas, para que possam ser subtraídas da área total.
A área da porta e degraus é (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35m2.
A área de uma janela retangular é (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24m2.
Existem cinco janelas retangulares. Multiplique a área de uma janela por 5.
3,24 × 5 = 16,2m2. (a área total das janelas retangulares).
A janela redonda tem um diâmetro de 1 m, seu raio é, portanto, 0,5 m.
Usando πR2, calcule a área da janela redonda : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855m2.
Em seguida, some as áreas da porta e das janelas.
(área da porta) 10,35 + (área das janelas retangulares) 16,2 + (área das janelas redondas) 0,7855 = 27,3355
Finalmente, subtraia a área total das janelas e portas da área total.
76,12 – 27,3355 = 48,7845
A área da frente de ripas de madeira do casa, e a resposta para o problema é: 48,7845m2.
Você pode arredondar a resposta para 48,8m2 ou 49m2.
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