Powierzchnia to miara ile miejsca jest wewnątrz kształtu. Obliczanie obszaru kształtu lub powierzchni może być przydatne w życiu codziennym – na przykład możesz potrzebować wiedzieć, ile farby kupić, aby pokryć ścianę lub ile nasion trawy potrzebujesz, aby obsiać trawnik.
Ta strona zawiera podstawowe informacje, które musisz wiedzieć, aby zrozumieć i obliczyć obszary typowych kształtów, w tym kwadraty i prostokąty, trójkąty i okręgi.
Obliczanie powierzchni metodą siatki
Kiedy kształt jest rysowany na skalowanej siatce, którą można znaleźć, licząc liczbę kwadratów siatki wewnątrz kształtu.
W tym przykładzie w prostokącie znajduje się 10 kwadratów siatki.
W kolejności Aby znaleźć wartość pola metodą siatki, musimy znać rozmiar, jaki reprezentuje kwadrat siatki.
W tym przykładzie są używane centymetry, ale ta sama metoda ma zastosowanie do dowolnej jednostki długości lub odległości. Możesz na przykład użyć cali, metrów, mil, stóp itp.
W tym przykładzie każdy kwadrat siatki ma szerokość 1cm i wysokość 1cm. Innymi słowy, każdy kwadrat siatki ma jeden „centymetr kwadratowy”.
Policz kwadraty siatki wewnątrz dużego kwadratu, aby znaleźć jego pole.
Jest 16 małych kwadratów, więc pole duży kwadrat ma 16 centymetrów kwadratowych.
W matematyce skracamy „centymetry kwadratowe” do cm2. 2 oznacza „do kwadratu”.
Każdy kwadrat siatki ma 1 cm2.
Powierzchnia dużego kwadratu to 16 cm2.
Liczenie kwadratów na siatce w celu znalezienia pola działa dla wszystkich kształtów – tak długo, jak znane są rozmiary siatki. Jednak ta metoda staje się trudniejsza, gdy kształty nie pasują dokładnie do siatki lub gdy trzeba policzyć ułamki kwadratów siatki.
W tym przykładzie kwadrat nie pasuje dokładnie do siatki.
Nadal możemy obliczyć pole, licząc kwadraty siatki.
- Jest 25 pełnych kwadratów siatki ( zacieniowane na niebiesko).
- 10 pół kwadratów (zacienione na żółto) – 10 pół kwadratów to tyle samo, co 5 pełnych kwadratów.
- Jest też 1 ćwierć kwadratu (zacieniowane na zielono ) – (¼ lub 0,25 całego kwadratu).
- Dodaj razem całe kwadraty i ułamki: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Pole tego kwadrat wynosi zatem 30,25 cm2.
Możesz również zapisać to jako 30¼cm2.
Chociaż użycie siatki i liczenie kwadratów w kształcie jest bardzo prostym sposobem na nauczenie się koncepcji pola, jest mniej przydatne do znajdowania dokładnych obszarów o bardziej złożonych kształtach, gdy może być wiele ułamków kwadratów siatki do dodania.
Powierzchnię można obliczyć za pomocą prostych wzorów, w zależności od typu kształtu, z którym pracujesz.
Pozostała część tej strony wyjaśnia i podaje przykłady, jak obliczyć pole powierzchni kształt bez użycia systemu siatki.
Obszary prostych czworoboków: kwadraty i prostokąty oraz równoległoboki
Najprostsze (i najczęściej używane) obliczenia powierzchni dotyczą kwadratów i prostokątów.
Aby znaleźć pole prostokąta, pomnóż jego wysokość przez jego szerokość.
W przypadku kwadratu wystarczy znaleźć długość jednego z boków (ponieważ każdy bok ma taką samą długość) a następnie pomnóż to przez siebie, aby znaleźć obszar. To to samo, co powiedzenie długości 2 lub kwadratu długości.
Dobrą praktyką jest sprawdzenie, czy kształt jest rzeczywiście kwadratem, mierząc dwa boki. Na przykład ściana pokoju może wyglądać jak kwadrat, ale kiedy ją mierzysz, okazuje się, że jest w rzeczywistości prostokątem.
Często w prawdziwym życiu kształty mogą być bardziej złożone. Na przykład wyobraź sobie, że chcesz znaleźć powierzchnię podłogi, aby zamówić odpowiednią ilość wykładziny.
Typowy rzut pokoju nie może składać się z prostego prostokąta lub kwadratu:
W tym przykładzie i innych podobnych, sztuczka polega na podzieleniu kształtu na kilka prostokątów ( lub kwadraty). Nie ma znaczenia, w jaki sposób podzielisz kształt – każde z trzech rozwiązań da taką samą odpowiedź.
Rozwiązanie 1 i 2 wymaga utworzenia dwóch kształtów i dodania ich obszarów razem, aby znaleźć całkowitą powierzchnię .
W rozwiązaniu 3 tworzysz większy kształt (A) i odejmujesz od niego mniejszy kształt (B), aby znaleźć pole.
Innym częstym problemem jest znalezienie obszaru granicy – kształt w innym kształcie.
Ten przykład przedstawia ścieżkę wokół pola – ścieżka ma 2 metry szerokości.
Ponownie, istnieje kilka sposobów obliczenia tego obszaru ścieżki w tym przykładzie.
Możesz wyświetlić ścieżkę jako cztery oddzielne prostokąty, obliczyć ich wymiary, a następnie ich powierzchnię, a na koniec dodać obszary razem, aby otrzymać sumę.
A Szybszym sposobem byłoby wyliczenie pola całego kształtu i obszaru wewnętrznego prostokąta.Odejmij wewnętrzny obszar prostokąta od całości pozostawiając obszar ścieżki.
- Obszar całego kształtu to 16m x 10m = 160m2.
- Możemy obliczyć wymiary środkowej sekcji, ponieważ wiemy, że ścieżka wokół krawędzi ma 2 m szerokości.
- Szerokość całego kształtu to 16m, a szerokość ścieżki w całym kształcie 4m (2m po lewej stronie kształtu i 2m po prawej). 16m – 4m = 12m
- Możemy zrobić to samo dla wysokości: 10m – 2m – 2m = 6m
- Obliczyliśmy więc, że środkowy prostokąt ma wymiary 12 m × 6 m.
- Pole środkowego prostokąta wynosi zatem: 12m × 6m = 72m2.
- Na koniec odejmujemy obszar środkowego prostokąta od obszaru całego kształtu. 160-72 = 88m2.
Powierzchnia ścieżki wynosi 88m2.
Równoległobok to kształt czworoboczny z dwiema parami boków o równej długości – o definicja prostokąt to rodzaj równoległoboku. Jednak większość ludzi ma tendencję do myślenia o równoległobokach jako o czterobocznych kształtach z ukośnymi liniami, jak pokazano tutaj.
Obszar równoległoboku oblicza się w taki sam sposób jak dla prostokąta (wysokość x szerokość), ale ważne jest, aby zrozumieć, że wysokość nie oznacza długości boków pionowych (lub poza pionem), ale odległość między bokami.
Na diagramie widać, że wysokość to odległość między górną a dolną częścią kształtu, a nie długość boku.
Pomyśl o wyimaginowanej linii pod kątem prostym, między górną a dolną stroną. To jest wysokość.
Obszary trójkątów
Trójkąt może być połową kwadratu lub równoległobokiem.
Zakładając, że znasz (lub potrafisz zmierzyć) wymiary trójkąta, możesz szybko obliczyć jego pole.
Pole trójkąt to (wysokość × szerokość) ÷ 2.
Innymi słowy, możesz obliczyć powierzchnię trójkąta w taki sam sposób, jak pole kwadratu lub równoległoboku, a następnie podziel swoją odpowiedź przez 2 .
Wysokość trójkąta jest mierzona jako prostokątna linia od dolnej linii (podstawy) do „wierzchołka” (górnego punktu) trójkąta.
Oto kilka przykładów:
Powierzchnia trzech trójkątów na powyższym diagramie jest taka sama.
Każdy trójkąt ma szerokość i wysokość 3 cm.
Obliczane jest pole powierzchni:
(wysokość × szerokość) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Pole każdego trójkąta wynosi 4,5 cm2.
W prawdziwej sytuacji jony możesz napotkać problem wymagający znalezienia obszaru trójkąta, na przykład:
Chcesz pomalować szczytowy koniec stodoły. Chcesz tylko raz odwiedzić sklep z dekoracjami, aby uzyskać odpowiednią ilość farby. Wiesz, że litr farby pokryje 10m2 ściany. Ile farby potrzebujesz do pokrycia szczytu?
Potrzebujesz trzech pomiarów:
A – Całkowita wysokość do wierzchołka dachu.
B – Wysokość ścian pionowych.
C – Szerokość budynku.
W tym przykładzie wymiary są następujące:
A – 12,4 m
B – 6,6 m
C – 11,6 m
Następny etap wymaga dodatkowych obliczeń. Pomyśl o budynku jako o dwóch kształtach, prostokącie i trójkącie. Na podstawie posiadanych pomiarów możesz obliczyć dodatkowe wymiary potrzebne do obliczenia powierzchni końca szczytu.
Pomiar D = 12,4 – 6,6
D = 5,8 m
Teraz możesz obliczyć powierzchnię dwóch części ściany:
Powierzchnia prostokątnej części ściana: 6,6 × 11,6 = 76,56 m2
Powierzchnia trójkątnej części ściany: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 m2
Dodaj te dwa obszary razem, aby znaleźć powierzchnia całkowita:
76,56 + 33,64 = 110,2m2
Jak wiesz, jeden litr farby pokrywa 10m2 ściany, więc możemy obliczyć, ile litrów potrzebujemy kupić:
110,2 ÷ 10 = 11,02 litra.
W rzeczywistości może się okazać, że farba jest sprzedawana tylko w 5-litrowych lub 1-litrowych puszkach, co daje nieco ponad 11 litrów. Możesz pokusić się o zaokrąglenie w dół do 11 litrów, ale zakładając, że nie rozlewamy farby, to nie wystarczy. Więc prawdopodobnie zaokrąglisz do następnego pełnego litra i kupisz dwie 5-litrowe puszki i dwie 1-litrowe puszki, co daje w sumie 12 litrów farby. Pozwoli to na wszelkie straty i pozostawi większość litra pozostałego do poprawienia w późniejszym terminie. I nie zapominaj, że jeśli chcesz nałożyć więcej niż jedną warstwę farby, musisz pomnożyć ilość farby na jedną warstwę przez liczbę wymaganych warstw!
Obszary kręgów
Aby obliczyć pole koła, musisz znać jego średnicę lub promień.
średnica koła to długość prostej biegnącej od jednej strony koła do drugiej, przechodzącej przez centralny punkt koła.Średnica jest dwukrotnością długości promienia (średnica = promień × 2)
Promień koła to długość prostej od środka koła do jego krawędzi. Promień jest równy połowie średnicy. (promień = średnica ÷ 2)
Możesz zmierzyć średnicę lub promień w dowolnym punkcie wokół koła – ważne jest, aby mierzyć za pomocą linii prostej, która przechodzi przez (średnica) lub kończy się na (promień) środek okręgu.
W praktyce, mierząc okręgi, często łatwiej jest zmierzyć średnicę, a następnie podzielić przez 2, aby znaleźć promień.
Promień jest potrzebny do pracy poza obszarem koła wzór wygląda następująco:
pole powierzchni = πR2.
To znaczy:
π = Pi jest stałą równą 3,142.
R = jest promieniem okręgu.
R2 (promień do kwadratu) oznacza promień × promień.
Dlatego okrąg o promieniu 5 cm ma powierzchnia:
3,142 × 5 × 5 = 78,55cm2.
Okrąg o średnicy 3m ma pole:
Najpierw obliczamy promień (3 m ÷ 2 = 1,5 m)
Następnie zastosuj wzór:
πR2
3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.
Powierzchnia koła o średnicy 3 m wynosi 7,0695 m2.
Przykład końcowy
Ten przykład Wyciąga znaczną część zawartości tej strony w celu rozwiązywania prostych problemów z obszarem.
To jest Ruben M . Benjamin House w Bloomington w stanie Illinois, wpisany do Krajowego Rejestru miejsc o znaczeniu historycznym w Stanach Zjednoczonych (numer rekordu: 376599).
Ten przykład dotyczy znalezienia obszaru z przodu domu, drewnianej części drzwi i okna. Potrzebne wymiary to:
| A – 9,7 m | B – 7,6 m |
| C – 8,8 m | D – 4,5 m |
| E – 2,3 m | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Uwagi:
- Wszystkie pomiary są przybliżone.
- Nie musisz martwić się o granicę wokół domu – nie zostało to uwzględnione w pomiarach.
- Zakładamy, że wszystkie prostokątne okna są tej samej wielkości.
- Wymiar okrągłego okna to średnica okna.
- Wymiar drzwi obejmuje stopnie.
Jaka jest powierzchnia drewnianej listwy domu?
Poniżej przedstawiono rozwiązania i odpowiedzi:
Odpowiedzi na powyższy przykład
Najpierw ustal obszar głównego kształt domu – czyli prostokąt i trójkąt, które tworzą kształt.
Główny prostokąt (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
Wysokość trójkąt to (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
Pole tego trójkąta wynosi zatem (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24m2.
Łączna pełna powierzchnia frontu domu to suma pól prostokąta i trójkąta:
66,88 + 9,24 = 76,12m2.
Następnie oblicz obszary okien i drzwi, aby można je było odjąć od pełnej powierzchni.
Powierzchnia drzwi i stopni wynosi (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35m2.
Powierzchnia jednego prostokątnego okna to (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24m2.
Jest pięć prostokątnych okien. Pomnóż powierzchnię jednego okna przez 5.
3,24 × 5 = 16,2m2. (całkowita powierzchnia prostokątnych okien).
Okrągłe okno ma średnicę 1 m, więc jego promień wynosi 0,5 m.
Za pomocą πR2 obliczyć powierzchnię okrągłego okna : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855m2.
Następnie zsumuj powierzchnie drzwi i okien.
(obszar drzwi) 10,35 + (obszar okien prostokątnych) 16,2 + (obszar okrągłego okna) 0,7855 = 27,3355
Na koniec od całkowitej powierzchni okien i drzwi odejmij.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
Powierzchnia drewnianej listwy przedniej dom, a odpowiedź na problem to: 48,7845m2.
Możesz zaokrąglić wynik do 48,8m2 lub 49m2.
Zajrzyj na naszą stronę o szacowaniu, przybliżaniu i zaokrąglaniu.