Wat is een horizontale asymptoot?
Een horizontale asymptoot is een y-waarde in een grafiek die een functie nadert maar bereikt niet. Hier is een eenvoudig grafisch voorbeeld waarin de functie in grafiekvorm \ (y = 0 \) nadert, maar nooit helemaal bereikt. In feite, ongeacht hoe ver u uitzoomt op deze grafiek, wint het nog steeds ik bereik geen nul. Ik moet er echter op wijzen dat horizontale asymptoten slechts in één richting kunnen voorkomen en kunnen worden gekruist bij kleine waarden van x. Ze verschijnen voor grote waarden en laten de trend van een functie zien als x naar positief of negatief oneindig gaat.
Om horizontale asymptoten te vinden, kunnen we de functie schrijven in de vorm van “y =”. U kunt horizontale asymptoten verwachten wanneer u een rationale functie uitzet, zoals: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). Ze treden op wanneer de grafiek van de functie steeds dichter bij een bepaalde waarde komt zonder ooit die waarde te bereiken, aangezien x erg positief of erg negatief wordt.
Om horizontale asymptoten te vinden:
1) Zet vergelijking of functie in y = -vorm.
2) Vermenigvuldig (breid) alle gefactureerde polynomen uit in de teller of noemer.
3) Verwijder alles behalve de termen met de grootste exponenten van x gevonden in de teller en de noemer. Dit zijn de “dominante” termen.
Voorbeeld A:
Zoek de horizontale asymptoten van: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$
Onthoud dat horizontale asymptoten verschijnen als x zich uitstrekt tot positief of negatief oneindig, dus we moeten uitzoeken wat deze breuk benadert als x enorm wordt. Om dat te doen, kiezen we de dominante termen in de teller en de noemer. Dominante termen zijn de termen met de grootste exponenten. Als x naar oneindig gaat, zijn de andere termen te klein om veel verschil te maken.
De grootste exponenten zijn in dit geval hetzelfde in de teller en de noemer (3). De dominante termen in elk hebben een exponent van 3. Verwijder de andere termen en vereenvoudig ze door de \ (x ^ 3 \) bovenaan en onderaan. Onthoud dat we hier geen vergelijking oplossen – we veranderen de waarde door willekeurig termen te verwijderen, maar het idee is om de limieten van de functie te zien als x erg groot wordt.
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$ 
(Merk op dat er ook een verticale asymptoot in deze functie.)
Als de exponent in de noemer van de functie groter is dan de exponent in de teller, is de horizontale asymptoot y = 0, wat de x-as is. Als x positief of negatief nadert oneindig, die noemer zal b e veel, veel groter dan de teller (in feite oneindig veel groter) en zal de totale breuk gelijk maken aan nul.
Als er een grotere exponent in de teller van een bepaalde functie staat, dan is er GEEN horizontale asymptoot. Bijvoorbeeld:
$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$
Er zullen GEEN horizontale asymptoot (en) zijn omdat er een GROTERE exponent is in de teller, dat is 3. Zie je het? Hierdoor zal de functie voor altijd toenemen in plaats van een asymptoot van dichtbij te benaderen. De plot van deze functie staat hieronder. Merk op dat er wederom ook verticale asymptoten in de grafiek aanwezig zijn.
Voorbeeld B:
Zoek de horizontale asymptoten van: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)
In dit voorbeeld is de functie in de vorm verwerkt. We moeten de functie echter converteren naar een standaardformulier, zoals aangegeven in de bovenstaande stappen vóór monster A. Dat betekent dat we het moeten vermenigvuldigen, zodat we de dominante termen kunnen observeren.
Voorbeeld B, in standaard formulier, ziet er als volgt uit:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$
Volgende: Volg de stappen van tevoren. We laten alles vallen behalve de grootste exponenten van x in de teller en de noemer. Na dit te hebben gedaan, wordt de bovenstaande functie:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$
Links naar vergelijkbare lessen van andere sites:
Horizontale asymptoten (Purplemath.com)
Asymptote-rekenmachine
Typ gewoon uw functie en selecteer “Zoek de asymptoten” in de vervolgkeuzelijst. Klik op antwoord om alle asymptoten te zien (helemaal gratis), of meld u aan voor een gratis proefperiode om de volledige stapsgewijze details van de oplossing te zien.