A terület egy mérték hogy mennyi hely van egy alakzat belsejében. Az alakzat vagy a felület területének kiszámítása hasznos lehet a mindennapi életben – például tudnia kell, hogy mennyi festéket kell vásárolnia a fal borításához, vagy mennyi fűmagot kell elvetnie a gyepre.
Ez az oldal azokat a lényegeket tartalmazza, amelyeket ismernie kell a közös alakzatok területeinek megértéséhez és kiszámításához, beleértve a négyzeteket és téglalapokat, háromszögeket és köröket.
Terület kiszámítása a Rács módszer használatával
Amikor egy alakzat rajzolódik egy méretarányos rácsra, a területet megtalálja, ha megszámolja az alakban lévő rács négyzetek számát.
Ebben a példában 10 négyzet van a téglalap belsejében.
Sorrendben A rács módszerrel történő területi érték megtalálásához tudnunk kell a rács négyzetének méretét.
Ez a példa centimétereket használ, de ugyanez a módszer alkalmazható bármely hosszúság vagy távolság egységre. Használhat például hüvelykeket, métereket, mérföldeket, lábakat stb.
Ebben a példában minden rácsnégyzetnek van egy szélessége 1 cm és magassága 1 cm. Más szavakkal, minden rács négyzet egy “négyzetcentiméter”.
Számolja meg a rács négyzeteket a nagy négyzet belsejében, hogy megtalálja a területét.
16 kicsi négyzet van, így a a nagy négyzet 16 négyzetcentiméter.
A matematikában a “négyzetcentimétereket” cm2-re rövidítjük. A 2 jelentése „négyzet”.
Minden rács négyzet 1 cm2.
A nagy négyzet területe 16 cm2.
A rácson lévő négyzetek számlálása, hogy megtalálja a területet az összes alakra – mindaddig, amíg a rácsméretek ismertek. Ez a módszer azonban még nagyobb kihívást jelent, ha az alakzatok nem illenek pontosan a rácsba, vagy ha meg kell számolni a rács négyzeteinek frakcióit.
Ebben a példában a négyzet nem illeszkedik pontosan a rácsra.
A területet továbbra is kiszámíthatjuk a rács négyzetek számlálásával.
- 25 teljes rács négyzet van ( kék színnel árnyékolva).
- 10 fél rács négyzet (sárga színnel árnyékolva) – 10 fél négyzet megegyezik 5 teljes négyzettel.
- Van még 1 negyed négyzet (zöld árnyékolással) ) – (¼ vagy egy egész négyzet 0,25).
- Összeadjuk az egész négyzeteket és frakciókat: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Ennek területe A négyzet ezért 30,25 cm2.
Ezt is írhatja 30¼cm2-nek.
Bár a rács használata és a négyzetek számolása egy alakban nagyon egyszerű módszer a terület fogalmainak megismerésére kevésbé hasznos a bonyolultabb formájú pontos területek megtalálásához, amikor a rács négyzeteinek sok töredéke összeadható.
A terület egyszerű képletek segítségével kiszámítható, attól függően, hogy milyen alakzattal dolgozik.
Az oldal többi része elmagyarázza és példákat ad arra, hogyan kell kiszámítani egy terület területét. alakzat a rácsrendszer használata nélkül.
Egyszerű négyszögek területei: Négyzetek, téglalapok és paralelogrammok
A legegyszerűbb (és leggyakrabban használt) területszámítás négyzetekre és téglalapokra vonatkozik.
A téglalap területének megkereséséhez szorozzuk meg a magasságát a szélességével.
Négyzetnél csak az egyik oldal hosszát kell megtalálni (mivel mindkét oldal azonos hosszúságú) majd ezt megszorozva önmagával megtalálja a területet. Ez megegyezik a hossz2 vagy a négyzet hosszának megadásával.
Jó gyakorlat két oldal mérésével ellenőrizni, hogy egy alak valójában négyzet-e. Például a szoba fala négyzetnek tűnhet, de amikor megméri, akkor téglalap.
A való életben a formák gyakran összetettebbek lehetnek. Például képzelje el, hogy meg szeretné találni a padló területét, hogy megfelelő mennyiségű szőnyeget rendelhessen.
A szoba tipikus alaprajza nem állhat egyszerű téglalapból vagy négyzetből:
Ebben a példában és más hasonló példákban az a trükk, hogy az alakzatot több téglalapra osztja ( vagy négyzetek). Nem számít, hogyan osztja fel az alakzatot – a három megoldás bármelyike ugyanazt a választ eredményezi.
Az 1. és 2. megoldás megköveteli, hogy két alakzatot készítsen, és összeadja a területüket, hogy megtalálja a teljes területet. .
A 3. megoldáshoz nagyobb alakzatot (A) készít, és kivonja belőle a kisebb alakot (B) a terület megtalálásához.
Egy másik gyakori probléma a terület megkeresése. határ – egy alakzat egy másik alakzatban.
Ez a példa a mező körüli ösvényt mutatja – az ösvény 2 m széles.
Ismételten többféle módon lehet a területet kidolgozni. ebben a példában.
Megtekintheti az utat négy különálló téglalapként, kiszámíthatja a méretüket, majd a területüket, végül összeadhatja a területeket az összesítéshez.
A gyorsabb módszer lenne az egész alakzat és a belső téglalap területének kidolgozása.Kivonjuk a belső téglalap területét az egészből, elhagyva az útvonal területét.
- Az egész alakzat területe 16m × 10m = 160m2.
- A középső szakasz méreteit kidolgozhatjuk, mert tudjuk, hogy az él körüli út 2m széles.
- Az egész alak szélessége 16 m, és az ösvény szélessége az egész alakzaton 4 m (2 m a forma bal oldalán és 2 m a jobb oldalon). 16m – 4m = 12m
- Ugyanezt megtehetjük a magasságnál is: 10m – 2m – 2m = 6m
- Tehát kiszámoltuk, hogy a középső téglalap 12m × 6m.
- A középső téglalap területe tehát: 12m × 6m = 72m2.
- Végül levesszük a középső téglalap területét az egész alakzat területéről. 160 – 72 = 88m2.
Az útvonal területe 88m2.
A paralelogramma egy négyoldalas alakzat, amelynek két oldalpárja azonos hosszúságú – a téglalap definíciója a paralelogramma. Azonban a legtöbb ember hajlamos a paralelogrammákat négyoldalú alakzatokra gondolni, szögletes vonalakkal, amint az itt látható.
A terület A paralelogramma értékét ugyanúgy számolják, mint egy téglalap esetében (magasság × szélesség), de fontos megérteni, hogy a magasság nem a függőleges (vagy a függőlegesen levő) oldalak hosszát jelenti, hanem az oldalak közötti távolságot.
A diagramból láthatja, hogy a magasság az alak felső és alsó oldala közötti távolság, nem pedig az oldal hossza.
Gondoljon egy képzeletbeli vonalra, derékszögben, a felső és az alsó oldal között. Ez a magasság.
A háromszögek területei
Hasznos lehet egy háromszöget négyzet vagy paralelogramma feleként elképzelni.
Ha feltételezzük, hogy ismeri (vagy meg tudja mérni) egy háromszög méreteit, akkor gyorsan meghatározhatja annak területét.
egy háromszög (magasság × szélesség) ÷ 2.
Más szavakkal, egy háromszög területét ugyanúgy meghatározhatja, mint egy négyzet vagy paralelogramma területét, majd csak ossza el a válaszát 2-vel .
A háromszög magasságát derékszögű vonalként mérjük a háromszög alsó vonalától (alapjától) a csúcsáig (felső pontjáig).
Íme néhány példa:
A fenti három háromszög területe megegyezik.
Minden háromszög szélessége és magassága 3 cm.
A terület kiszámítása:
(magasság × szélesség) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Az egyes háromszögek területe 4,5 cm2.
Valós életben ionokkal szembesülhet egy olyan probléma, amely megköveteli, hogy megtalálja a háromszög területét, például:
Meg akarja festeni az istálló oromfalát. Csak egyszer szeretne ellátogatni a díszítő üzletbe, hogy megfelelő mennyiségű festéket kapjon. Tudja, hogy egy liter festék 10m2 falat borít. Mennyi festékre van szükséged az oromzat lezárásához?
Három mérésre van szükséged:
A – A teljes magasság a tető csúcsáig.
B – A függőleges falak magassága.
C – Az épület szélessége.
Ebben a példában a méretek a következők:
A – 12,4 m
B – 6,6 m
C – 11,6 m
A következő szakasz további számításokat igényel. Gondoljon az épületre, mint két alakra, egy téglalapra és egy háromszögre. A rendelkezésére álló mérésekből kiszámíthatja a további mérést, amely szükséges az oromvég területének meghatározásához.
D mérés = 12,4 – 6,6
D = 5,8 m
Mostantól meghatározhatja a fal két részének területét:
A fal téglalap alakú részének területe a fal: 6,6 × 11,6 = 76,56m2
A fal háromszög alakú részének területe: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64m2
Adja össze ezt a két területet a teljes terület:
76.56 + 33.64 = 110.2m2
Mint tudják, hogy egy liter festék 10m2 falat borít, így meg tudjuk állapítani, hány litert kell vásárolnunk:
110,2 ÷ 10 = 11,02 liter.
A valóságban azt tapasztalhatja, hogy a festéket csak 5 literes vagy 1 literes dobozokban árusítják, az eredmény alig haladja meg a 11 litert. Kísértés lehet, hogy lefelé kerek 11 literre, de feltételezve, hogy nem öntözzük le a festéket, ez nem lesz elég. Tehát valószínűleg felkerekedik a következő egész literre, és vesz két 5 literes kannát és két 1 literes kannát, amelyekből összesen 12 liter festék készül. Ez lehetővé teszi az esetleges pazarlást, és a maradék liter nagy részét későbbi felhasználásra hagyja. És ne felejtsd el, hogy ha egynél több festékréteget kell felvinni, meg kell szorozni az egy réteg festékmennyiségét a szükséges rétegek számával!
Körök területei
A kör területének kiszámításához ismernie kell annak átmérőjét vagy sugarát.
A egy kör átmérője egy egyenes hossza a kör egyik oldalától a másikig, amely áthalad a kör középpontján.Az átmérő kétszerese a sugár hosszának (átmérő = sugár × 2)
A kör sugara az egyenes hossza a kör középpontjától a széléig. A sugár az átmérő fele. (sugár = átmérő ÷ 2)
Az átmérőt vagy a sugarat a kör körüli bármely ponton megmérheti – a legfontosabb az, hogy mérjen egy egyenes vonalat, amely áthalad (átmérő) vagy véget ér (sugár) a kör közepe.
A gyakorlatban a körök mérésekor gyakran könnyebb megmérni az átmérőt, majd osztani 2-vel a sugár megtalálásához.
A működéshez a sugárra van szükség ki a kör területét, a képlet a következő:
körterület = πR2.
Ez azt jelenti:
π = Pi = 3,142 konstans.
R = a kör sugara.
R2 (sugár négyzet) sugár × sugár.
Ezért egy 5 cm sugarú körnek van egy területe:
3,142 × 5 × 5 = 78,55 cm2.
A 3 m átmérőjű kör területe:
Először kidolgozzuk a sugár (3m ÷ 2 = 1,5m)
Ezután alkalmazza a következő képletet:
πR2
3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.
A 3m átmérőjű kör területe 7.0695m2.
Végső példa
Ez a példa e az oldal tartalmának nagy részét az egyszerű területproblémák megoldásához használja.
Ez a Ruben M . Benjamin-ház Bloomington Illinois-ban, szerepel az Egyesült Államok Nemzeti Történelmi Helyi Nyilvántartásában (Rekordszám: 376599).
Ez a példa a ház elülső részének, a fa rácsos résznek a felkutatását jelenti – kivéve az ajtót és az ablakokat. A szükséges mérések a következők:
| A – 9,7m | B – 7,6m |
| C – 8,8m | D – 4,5m |
| E – 2,3m | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Megjegyzések:
- Minden mérés hozzávetőleges.
- A ház körüli határ miatt nem kell aggódni – ezt a mérések nem vették figyelembe.
- Feltételezzük, hogy az összes téglalap alakú ablak azonos méretű.
- A kerek ablak mérete az ablak átmérője.
- Az ajtó mérése magában foglalja a lépéseket.
Mekkora a fa rácsos rész területe a ház?
Működése és válaszai az alábbiakban:
Válaszok a fenti példára
Először dolgozza ki a fő terület a ház alakja – ez az a téglalap és háromszög alkotja az alakot.
A fő téglalap (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
A háromszög (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
A háromszög területe tehát (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 m2.
A ház elejének összesített teljes területe a téglalap és a háromszög területeinek összege:
66,88 + 9,24 = 76,12 m2.
Ezután dolgozza ki az ablakok és ajtók területeit, hogy azok kivonhatók legyenek a teljes területből.
Az ajtó és a lépcsők területe (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 m2.
Egy téglalap alakú ablak területe (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 m2.
Öt téglalap alakú ablak van. Szorozza meg egy ablak területét 5-szel.
3,24 × 5 = 16,2 m2. (a téglalap alakú ablakok teljes területe).
A kerek ablak átmérője 1 m, sugara ezért 0,5 m.
A πR2 használatával dolgozza ki a kerek ablak területét : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0.7855m2.
Ezután adja hozzá az ajtó és az ablakok területét.
(ajtó területe) 10.35 + (téglalap alakú ablakok területe) 16.2 + (kerek ablakok területe) 0.7855 = 27.3355
Végül vonja le az ablakok és ajtók teljes területét a teljes területről.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
A fa rácsos elülső részének területe ház, és a válasz a problémára: 48,7845m2.
Érdemes kerekíteni a választ 48,8m2-re vagy 49m2-re.
Tekintse meg oldalunkat: Becslés, közelítés és kerekítés.