Areal er et mål hvor meget plads der er inde i en form. Beregning af arealet af en form eller overflade kan være nyttigt i hverdagen – for eksempel skal du muligvis vide, hvor meget maling du skal købe for at dække en mur, eller hvor meget græsfrø du har brug for for at så en græsplæne.
Denne side dækker det væsentlige, du har brug for at vide for at forstå og beregne områderne med almindelige former, herunder firkanter og rektangler, trekanter og cirkler.
Beregning af areal ved hjælp af gittermetoden
Når en figur er tegnet på et skaleret gitter, du kan finde området ved at tælle antallet af gitterkvadrater inde i formen.
I dette eksempel er der 10 gitterkvadrater inde i rektanglet.
I rækkefølge for at finde en arealværdi ved hjælp af gittermetoden skal vi vide størrelsen, som et gitterkvadrat repræsenterer.
Dette eksempel bruger centimeter, men den samme metode gælder for enhver enhed af længde eller afstand. Du kan f.eks. Bruge inches, meter, miles, fødder osv.
I dette eksempel har hver gitterkvadrat en bredde på 1 cm og en højde på 1 cm. Med andre ord er hver gitterkvadrat en “kvadratcentimeter”.
Tæl gitterkvadraterne inde i den store firkant for at finde sit areal ..
Der er 16 små firkanter, så arealet af den store firkant er 16 kvadratcentimeter.
I matematik forkorter vi “kvadratcentimeter” til cm2. De 2 betyder firkantet.
Hvert gitterkvadrat er 1 cm2.
Arealet af det store kvadrat er 16 cm2.
Tæller firkanter på et gitter for at finde området fungerer for alle former – så længe netstørrelserne er kendt. Denne metode bliver dog mere udfordrende, når figurer ikke passer nøjagtigt til gitteret, eller når du skal tælle brøker af gitterkvadrater.
I dette eksempel passer firkanten ikke nøjagtigt til gitteret.
Vi kan stadig beregne arealet ved at tælle gitterkvadrater.
- Der er 25 fulde gitterkvadrater ( skraveret i blåt).
- 10 halve gitterkvadrater (skraveret i gult) – 10 halve firkanter er det samme som 5 fulde firkanter.
- Der er også 1 fjerdedel firkant (skygget i grønt ) – (¼ eller 0,25 af en hel firkant).
- Tilføj hele firkanter og brøker sammen: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
Området for dette kvadrat er derfor 30,25 cm2.
Du kan også skrive dette som 30¼cm2.
Selvom brug af et gitter og tælling af firkanter i en form er en meget enkel måde at lære begreberne om arealet er mindre nyttigt til at finde nøjagtige områder med mere komplekse former, når der kan være mange fraktioner af gitterkvadrater at tilføje.
Areal kan beregnes ved hjælp af enkle formler, afhængigt af hvilken form du arbejder med.
Resten af denne side forklarer og giver eksempler på, hvordan du beregner arealet af en form uden brug af gittersystemet.
Områder med enkle firkanter: Kvadrater og rektangler og parallelogrammer
De enkleste (og mest anvendte) områdeberegninger er for kvadrater og rektangler.
For at finde arealet af et rektangel skal du gange højden med dens bredde.
For en firkant behøver du kun at finde længden på en af siderne (da hver side har samme længde) og derefter multiplicere dette med sig selv for at finde området. Dette er det samme som at sige længde2 eller længde i kvadrat.
Det er god praksis at kontrollere, at en form faktisk er en firkant ved at måle to sider. For eksempel kan et rums væg ligne en firkant, men når du måler det, finder du, at det faktisk er et rektangel.
Ofte kan former i det virkelige liv være mere komplekse. Forestil dig f.eks., At du vil finde arealet på et gulv, så du kan bestille den rigtige mængde tæppe.
En typisk grundplan i et rum består muligvis ikke af et enkelt rektangel eller firkant:
I dette eksempel og andre eksempler som det er tricket at opdele formen i flere rektangler ( eller firkanter). Det betyder ikke noget, hvordan du deler formen – en af de tre løsninger resulterer i det samme svar.
Løsning 1 og 2 kræver, at du laver to former og tilføjer deres områder sammen for at finde det samlede areal .
For løsning 3 laver du en større form (A) og trækker den mindre form (B) fra den for at finde området.
Et andet almindeligt problem er at finde området af en kant – en form inden for en anden form.
Dette eksempel viser en sti omkring et felt – stien er 2 m bred.
Igen er der flere måder at udarbejde området på af stien i dette eksempel.
Du kan se stien som fire separate rektangler, beregne deres dimensioner og derefter deres areal og til sidst tilføje områderne sammen for at give et samlet.
A hurtigere måde ville være at udarbejde området for hele formen og området for det indre rektangel.Træk det indre rektangelområde fra hele det, der forlader stien.
- Området for hele formen er 16m × 10m = 160m2.
- Vi kan beregne dimensionerne på den midterste sektion, fordi vi ved, at stien omkring kanten er 2m bred.
- Bredden på hele formen er 16m og stiens bredde over hele formen er 4m (2m til venstre for formen og 2m til højre). 16m – 4m = 12m
- Vi kan gøre det samme for højden: 10m – 2m – 2m = 6m
- Så vi har beregnet, at det midterste rektangel er 12m × 6m.
- Området for det midterste rektangel er derfor: 12m × 6m = 72m2.
- Endelig tager vi området af det midterste rektangel væk fra området med hele formen. 160 – 72 = 88m2.
Stiens areal er 88m2.
Et parallelogram er en firesidet form med to par sider med lige længde – ved definition et rektangel er en type parallelogram. De fleste mennesker har dog en tendens til at tænke på parallelogrammer som firesidede former med vinklede linjer som illustreret her.
Området af et parallelogram beregnes på samme måde som for et rektangel (højde × bredde), men det er vigtigt at forstå, at højde ikke betyder længden af de lodrette (eller fra lodrette) sider, men afstanden mellem siderne.
Fra diagrammet kan du se, at højden er afstanden mellem figurens øverste og nederste side – ikke længden af siden.
Tænk på en imaginær linje vinkelret, mellem top- og undersiden. Dette er højden.
Områder med trekanter
Det kan være nyttigt at tænke på en trekant som halvdelen af et kvadrat eller parallelogram.
Hvis du antager, at du kender (eller kan måle) dimensionerne af en trekant, kan du hurtigt udregne dens område.
Området for en trekant er (højde × bredde) ÷ 2.
Med andre ord kan du beregne arealet af en trekant på samme måde som området for et kvadratisk eller parallelogram, så del bare dit svar med 2 .
Højden på en trekant måles som en retvinklet linje fra den nederste linje (base) til apex (øverste punkt) i trekanten.
Her er nogle eksempler:
Arealet af de tre trekanter i diagrammet ovenfor er det samme.
Hver trekant har en bredde og højde på 3 cm.
Området beregnes:
(højde × bredde) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Arealet for hver trekant er 4,5 cm2.
I det virkelige liv ioner, du muligvis står over for et problem, der kræver, at du finder området i en trekant, såsom:
Du vil male gavlenden af en stald. Du vil kun besøge udsmykningsbutikken en gang for at få den rigtige mængde maling. Du ved, at en liter maling vil dække 10 m2 væg. Hvor meget maling har du brug for til at dække gavlenden?
Du har brug for tre målinger:
A – Den samlede højde til toppen af taget.
B – Højden på de lodrette vægge.
C – Bygningens bredde.
I dette eksempel er målingerne:
A – 12,4m
B – 6,6m
C – 11,6m
Næste trin kræver nogle yderligere beregninger. Tænk på bygningen som to former, et rektangel og en trekant. Fra de mål, du har, kan du beregne den ekstra måling, der er nødvendig for at beregne gavlenden.
Måling D = 12,4 – 6,6
D = 5,8m
Du kan nu regne ud arealet af de to dele af væggen:
Areal af den rektangulære del af væggen: 6,6 × 11,6 = 76,56m2
Areal af den trekantede del af væggen: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64m2
Tilføj disse to områder sammen for at finde samlet areal:
76,56 + 33,64 = 110,2m2
Som du ved, at en liter maling dækker 10m2 væg, så vi kan finde ud af, hvor mange liter vi skal købe:
110,2 ÷ 10 = 11,02 liter.
I virkeligheden kan det være, at maling kun sælges i dåser på 5 liter eller 1 liter, resultatet er lidt over 11 liter. Du kan blive fristet til at runde ned til 11 liter, men hvis vi antager, at vi ikke vander malingen ud, er det ikke helt nok. Så du vil sandsynligvis runde op til den næste hele liter og købe to 5-liters dåser og to 1-liters dåser, der giver i alt 12 liter maling. Dette giver mulighed for spild og efterlader det meste af en liter til at røre ved på et senere tidspunkt. Og glem ikke, hvis du har brug for at påføre mere end et lag maling, skal du gange mængden af maling til et lag med det nødvendige antal lag!
Cirkelområder
For at beregne arealet af en cirkel skal du kende dens diameter eller radius.
diameter på en cirkel er længden af en lige linje fra den ene side af cirklen til den anden, der passerer gennem det centrale punkt i cirklen.Diameteren er dobbelt så lang som radius (diameter = radius × 2)
Radius af en cirkel er længden af en lige linje fra det centrale punkt i cirklen til dens kant. Radien er halvdelen af diameteren. (radius = diameter ÷ 2)
Du kan måle diameteren eller radiusen på ethvert punkt rundt om cirklen – det vigtige er at måle ved hjælp af en lige linje, der passerer gennem (diameter) eller slutter ved (radius) centrum af cirklen.
I praksis er det ofte lettere at måle diameteren, når man måler cirkler, og divider derefter med 2 for at finde radius.
Du har brug for radius for at arbejde ud af området for en cirkel er formlen:
cirkelareal = πR2.
Dette betyder:
π = Pi er en konstant, der svarer til 3.142.
R = er cirkelens radius.
R2 (radius i kvadrat) betyder radius × radius.
Derfor har en cirkel med en radius på 5 cm en areal på:
3.142 × 5 × 5 = 78.55cm2.
En cirkel med en diameter på 3m har et areal:
Først beregner vi radius (3m ÷ 2 = 1,5m)
Anvend derefter formlen:
πR2
3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.
Arealet af en cirkel med en diameter på 3m er 7,0695m2.
Endeligt eksempel
Denne ekspl. e trækker på meget af indholdet på denne side til løsning af enkle områdeproblemer.
Dette er Ruben M Benjamin House i Bloomington Illinois, opført på United States National Register of Historic Places (Record Number: 376599).
Dette eksempel indebærer at finde området på forsiden af huset, den træspalte del – eksklusive døren og vinduerne. De mål, du har brug for, er:
| A – 9,7m | B – 7,6m |
| C – 8.8m | D – 4.5m |
| E – 2.3m | F – 2.7 m |
| G – 1.2m | H – 1.0m |
Bemærkninger:
- Alle målinger er omtrentlige.
- Der er ingen grund til at bekymre sig om grænsen omkring huset – dette er ikke inkluderet i målene.
- Vi antager, at alle rektangulære vinduer har samme størrelse.
- Målingen af det runde vindue er vinduesdiameteren.
- Målingen til døren inkluderer trin.
Hvad er arealet på træspalten i huset?
Arbejdet og svarene nedenfor:
Svar på ovenstående eksempel
Først skal du udarbejde hovedområdet husets form – det er rektanglet og trekanten, der udgør formen.
Hovedrektanglet (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
Højden på trekant er (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
Arealet af trekanten er derfor (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18.48 ÷ 2 = 9.24m2.
Det samlede samlede areal på forsiden af huset er summen af arealerne i rektanglet og trekanten:
66,88 + 9,24 = 76,12m2.
Derefter udarbejdes vinduerne og dørernes områder, så de kan trækkes fra hele området.
Dørens og trinens areal er (D × E) 4.5 × 2.3 = 10.35m2.
Arealet af et rektangulært vindue er (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24m2.
Der er fem rektangulære vinduer. Multiplicer arealet af et vindue med 5.
3,24 × 5 = 16,2m2. (det samlede areal af de rektangulære vinduer).
Det runde vindue har en diameter på 1 m, dets radius er derfor 0,5 m.
Brug πR2 til at udarbejde området for det runde vindue : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0.7855m2.
Derefter tilføjes døre og vinduer.
(dørområde) 10.35 + (rektangelvindueområde) 16.2 + (rundt vinduesareal) 0.7855 = 27.3355
Til sidst trækker du det samlede areal for vinduerne og dørene fra hele området.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
Området for træspalten foran på hus, og svaret på problemet er: 48.7845m2.
Det kan være en god idé at afrunde svaret op til 48,8m2 eller 49m2.
Se vores side om estimering, tilnærmelse og afrunding.