El área es una medida de cuánto espacio hay dentro de una forma. Calcular el área de una forma o superficie puede ser útil en la vida cotidiana; por ejemplo, es posible que necesite saber cuánta pintura comprar para cubrir una pared o cuánta semilla de césped necesita para sembrar un césped.
Esta página cubre lo esencial que necesita saber para comprender y calcular las áreas de formas comunes, incluidos cuadrados y rectángulos, triángulos y círculos.
Cálculo del área usando el método de cuadrícula
Cuándo se dibuja una forma en una cuadrícula a escala. Puede encontrar el área contando el número de cuadrados de la cuadrícula dentro de la forma.
En este ejemplo, hay 10 cuadrículas dentro del rectángulo.
En orden para encontrar un valor de área usando el método de cuadrícula, necesitamos saber el tamaño que representa un cuadrado de cuadrícula.
Este ejemplo usa centímetros, pero el mismo método se aplica para cualquier unidad de longitud o distancia. Podría, por ejemplo, usar pulgadas, metros, millas, pies, etc.
En este ejemplo, cada cuadrado de la cuadrícula tiene un ancho de 1cm y una altura de 1cm. En otras palabras, cada cuadrado de la cuadrícula es un «centímetro cuadrado».
Cuente los cuadrados de la cuadrícula dentro del cuadrado grande para encontrar su área ..
Hay 16 cuadrados pequeños, por lo que el área de el cuadrado grande mide 16 centímetros cuadrados.
En matemáticas abreviamos «centímetros cuadrados» a cm2. El 2 significa «cuadrado».
Cada cuadrado de la cuadrícula mide 1 cm2.
El área del cuadrado grande es de 16 cm2.
Contar cuadrados en una cuadrícula para encontrar el área funciona para todas las formas – siempre que se conozcan los tamaños de la rejilla. Sin embargo, este método se vuelve más desafiante cuando las formas no se ajustan exactamente a la cuadrícula o cuando necesita contar fracciones de cuadrados de la cuadrícula.
En este ejemplo, el cuadrado no encaja exactamente en la cuadrícula.
Aún podemos calcular el área contando los cuadrados de la cuadrícula.
- Hay 25 cuadrados de cuadrícula completos ( sombreado en azul).
- 10 medios cuadrados de cuadrícula (sombreados en amarillo) – 10 medios cuadrados es lo mismo que 5 cuadrados completos.
- También hay 1 cuarto de cuadrado (sombreado en verde ) – (¼ o 0,25 de un cuadrado entero).
- Suma los cuadrados enteros y las fracciones: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.
El área de este por lo tanto, el cuadrado mide 30.25 cm2.
También puedes escribirlo como 30¼ cm2.
Aunque usar una cuadrícula y contar cuadrados dentro de una forma es una forma muy sencilla de aprender los conceptos de área, es menos útil para encontrar áreas exactas con formas más complejas, cuando puede haber muchas fracciones de cuadrados de cuadrícula para sumar.
El área se puede calcular usando fórmulas simples, dependiendo del tipo de forma con la que esté trabajando.
El resto de esta página explica y da ejemplos de cómo calcular el área de una forma sin usar el sistema de cuadrícula.
Áreas de cuadriláteros simples: cuadrados y rectángulos y paralelogramos
Los cálculos de área más simples (y más comúnmente usados) son para cuadrados y rectángulos.
Para encontrar el área de un rectángulo, multiplica su altura por su ancho.
Para un cuadrado, solo necesitas encontrar la longitud de uno de los lados (ya que cada lado tiene la misma longitud) y luego multiplique esto por sí mismo para encontrar el área. Esto es lo mismo que decir longitud2 o longitud al cuadrado.
Es una buena práctica comprobar que una forma es en realidad un cuadrado midiendo dos lados. Por ejemplo, la pared de una habitación puede parecer un cuadrado, pero cuando la mides encuentras que en realidad es un rectángulo.
A menudo, en la vida real, las formas pueden ser más complejas. Por ejemplo, imagina que quieres encontrar el área de un piso, de modo que puedas pedir la cantidad correcta de alfombra.
Un plano de piso típico de una habitación puede no constar de un simple rectángulo o cuadrado:
En este ejemplo, y en otros ejemplos similares, el truco consiste en dividir la forma en varios rectángulos ( o cuadrados). No importa cómo divida la forma: cualquiera de las tres soluciones dará como resultado la misma respuesta.
Las soluciones 1 y 2 requieren que haga dos formas y sume sus áreas para encontrar el área total .
Para la solución 3, haces una forma más grande (A) y le resta la forma más pequeña (B) para encontrar el área.
Otro problema común es encontrar el área de un borde – una forma dentro de otra forma.
Este ejemplo muestra una ruta alrededor de un campo – la ruta tiene 2 m de ancho.
Una vez más, hay varias formas de calcular el área de la ruta en este ejemplo.
Puede ver la ruta como cuatro rectángulos separados, calcular sus dimensiones y luego su área y finalmente sumar las áreas para dar un total.
A La forma más rápida sería calcular el área de toda la forma y el área del rectángulo interno.Reste el área del rectángulo interno del total que deja el área del camino.
- El área de la forma completa es 16m × 10m = 160m2.
- Podemos calcular las dimensiones de la sección central porque sabemos que el camino alrededor del borde tiene 2 m de ancho.
- El ancho de toda la forma es 16 my el ancho del camino a través de toda la forma es de 4 m (2 m a la izquierda de la forma y 2 m a la derecha). 16m – 4m = 12m
- Podemos hacer lo mismo para la altura: 10m – 2m – 2m = 6m
- Así que hemos calculado que el rectángulo del medio es 12m × 6m.
- El área del rectángulo del medio es por lo tanto: 12m × 6m = 72m2.
- Finalmente, quitamos el área del rectángulo del medio del área de la forma completa. 160 – 72 = 88m2.
El área del camino es 88m2.
Un paralelogramo es una forma de cuatro lados con dos pares de lados de igual longitud – por definición un rectángulo es un tipo de paralelogramo. Sin embargo, la mayoría de la gente tiende a pensar en los paralelogramos como formas de cuatro lados con líneas en ángulo, como se ilustra aquí.
El área de un paralelogramo se calcula de la misma manera que para un rectángulo (alto × ancho) pero es importante entender que la altura no significa la longitud de los lados verticales (o fuera de la vertical) sino la distancia entre los lados.
En el diagrama, puede ver que la altura es la distancia entre los lados superior e inferior de la forma, no la longitud del lado.
Piense en una línea imaginaria, en ángulos rectos, entre los lados superior e inferior. Esta es la altura.
Áreas de triángulos
Puede ser útil pensar en un triángulo como la mitad de un cuadrado o paralelogramo.
Suponiendo que conozca (o pueda medir) las dimensiones de un triángulo, puede calcular rápidamente su área.
El área de un triángulo es (altura × ancho) ÷ 2.
En otras palabras, puedes calcular el área de un triángulo de la misma manera que el área de un cuadrado o paralelogramo, luego divide tu respuesta por 2 .
La altura de un triángulo se mide como una línea en ángulo recto desde la línea inferior (base) hasta el vértice (punto superior) del triángulo.
Aquí hay algunos ejemplos:
El área de los tres triángulos en el diagrama de arriba es la misma.
Cada triángulo tiene un ancho y un alto de 3 cm.
El área se calcula:
(alto x ancho) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4.5
El área de cada triángulo es 4.5cm2.
En situaciones de la vida real iones es posible que se enfrente a un problema que requiera que encuentre el área de un triángulo, como:
Quiere pintar el hastial de un granero. Solo desea visitar la tienda de decoración una vez para obtener la cantidad adecuada de pintura. Sabes que un litro de pintura cubrirá 10m2 de pared. ¿Cuánta pintura necesitas para cubrir el hastial?
Necesitas tres medidas:
A – La altura total hasta el vértice del techo.
B – La altura de las paredes verticales.
C – El ancho del edificio.
En este ejemplo, las medidas son:
A – 12,4 m
B – 6,6 m
C – 11,6 m
La siguiente etapa requiere algunos cálculos adicionales. Piense en el edificio como dos formas, un rectángulo y un triángulo. A partir de las medidas que tiene, puede calcular la medida adicional necesaria para calcular el área del hastial.
Medida D = 12,4 – 6,6
D = 5,8 m
Ahora puede calcular el área de las dos partes del muro:
Área de la parte rectangular de la pared: 6.6 × 11.6 = 76.56m2
Área de la parte triangular de la pared: (5.8 × 11.6) ÷ 2 = 33.64m2
Suma estas dos áreas para encontrar el área total:
76.56 + 33.64 = 110.2m2
Como sabes que un litro de pintura cubre 10m2 de pared, podemos calcular cuántos litros necesitamos comprar:
110,2 ÷ 10 = 11,02 litros.
En realidad, es posible que la pintura solo se venda en latas de 5 litros o 1 litro, el resultado es poco más de 11 litros. Es posible que tenga la tentación de redondear a 11 litros, pero suponiendo que no diluyamos la pintura, no será suficiente. Así que probablemente redondeará al siguiente litro entero y comprará dos latas de 5 litros y dos latas de 1 litro, lo que hará un total de 12 litros de pintura. Esto permitirá cualquier desperdicio y dejará la mayor parte de un litro para retocar en una fecha posterior. ¡Y no olvide que si necesita aplicar más de una capa de pintura, debe multiplicar la cantidad de pintura para una capa por la cantidad de capas necesarias!
Áreas de círculos
Para calcular el área de un círculo necesita conocer su diámetro o radio.
El El diámetro de un círculo es la longitud de una línea recta de un lado del círculo al otro que pasa por el punto central del círculo.El diámetro es el doble de la longitud del radio (diámetro = radio × 2)
El radio de un círculo es la longitud de una línea recta desde el punto central del círculo hasta su borde. El radio es la mitad del diámetro. (radio = diámetro ÷ 2)
Puede medir el diámetro o el radio en cualquier punto alrededor del círculo; lo importante es medir usando una línea recta que pase por (diámetro) o termine en (radio) el centro del círculo.
En la práctica, al medir círculos, a menudo es más fácil medir el diámetro, luego dividir por 2 para encontrar el radio.
Necesitas el radio para trabajar fuera del área de un círculo, la fórmula es:
área del círculo = πR2.
Esto significa:
π = Pi es una constante que equivale a 3,142.
R = es el radio del círculo.
R2 (radio al cuadrado) significa radio × radio.
Por lo tanto, un círculo con un radio de 5 cm tiene un área de:
3.142 × 5 × 5 = 78.55cm2.
Un círculo con un diámetro de 3 m tiene un área:
Primero, calculamos el radio (3 m ÷ 2 = 1,5 m)
Luego aplique la fórmula:
πR2
3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.
El área de un círculo con un diámetro de 3 m es 7.0695m2.
Ejemplo final
Este ejemplo e utiliza gran parte del contenido de esta página para resolver problemas de área simples.
Este es el Ruben M . Benjamin House en Bloomington, Illinois, incluida en el Registro Nacional de Lugares Históricos de los Estados Unidos (número de registro: 376599).
Este ejemplo implica encontrar el área del frente de la casa, la parte de listones de madera, excluyendo la puerta y las ventanas. Las medidas que necesita son:
| A – 9,7 m | B – 7,6 m |
| C – 8,8 millones | D – 4,5 millones |
| E – 2,3 millones | F – 2,7 m |
| G – 1,2 m | H – 1,0 m |
Notas:
- Todas las medidas son aproximadas.
- No hay necesidad de preocuparse por el borde alrededor de la casa; esto no se ha incluido en las medidas.
- Asumimos que todas las ventanas rectangulares son del mismo tamaño.
- La medida de la ventana redonda es el diámetro de la ventana.
- La medida de la puerta incluye los escalones.
Cuál es el área de la parte de listones de madera de la casa?
Funcionamiento y respuestas a continuación:
Respuestas al ejemplo anterior
Primero, calcule el área de la forma de la casa, es decir, el rectángulo y el triángulo que forman la forma.
El rectángulo principal (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
La altura de la triángulo es (A – B) 9.7 – 7.6 = 2.1.
El área del triángulo es, por lo tanto, (2.1 × C) ÷ 2.
2.1 × 8.8 = 18.48. 18.48 ÷ 2 = 9.24m2.
El área total combinada del frente de la casa es la suma de las áreas del rectángulo y el triángulo:
66.88 + 9.24 = 76.12m2.
A continuación, calcule las áreas de las ventanas y puertas, de modo que se puedan restar del área completa.
El área de la puerta y los escalones es (D × E) 4.5 × 2,3 = 10,35m2.
El área de una ventana rectangular es (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24m2.
Hay cinco ventanas rectangulares. Multiplica el área de una ventana por 5.
3,24 × 5 = 16,2m2. (el área total de las ventanas rectangulares).
La ventana redonda tiene un diámetro de 1 m, su radio es por lo tanto de 0,5 m.
Usando πR2, calcule el área de la ventana redonda : 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0.7855m2.
A continuación, sume las áreas de la puerta y las ventanas.
(área de la puerta) 10.35 + (área de las ventanas rectangulares) 16.2 + (área de la ventana redonda) 0.7855 = 27.3355
Finalmente, reste el área total de las ventanas y puertas del área completa.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
El área del frente de listones de madera del casa, y la respuesta al problema es: 48,7845m2.
Es posible que desee redondear la respuesta a 48,8m2 o 49m2.
Consulte nuestra página sobre estimación, aproximación y redondeo.