Find a Function “s Horizontal Assymptotes

O que é uma assíntota horizontal?

Uma assíntota horizontal é um valor y em um gráfico que a a função se aproxima, mas não alcança. Aqui está um exemplo gráfico simples em que a função representada no gráfico se aproxima, mas nunca chega a atingir, \ (y = 0 \). Na verdade, não importa o quanto você diminua o zoom neste gráfico, ela ainda venceu “t chegar a zero. No entanto, devo salientar que as assíntotas horizontais podem aparecer apenas em uma direção e podem ser cruzadas em pequenos valores de x. Eles aparecerão para valores grandes e mostrarão a tendência de uma função conforme x vai para o infinito positivo ou negativo.

Para encontrar assíntotas horizontais, podemos escrever a função na forma de “y =”. Você pode esperar encontrar assíntotas horizontais ao traçar uma função racional, como: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). Eles ocorrem quando o gráfico da função fica cada vez mais perto de um valor específico sem nunca realmente atingir esse valor, pois x fica muito positivo ou muito negativo.

Para encontrar assíntotas horizontais:

Exemplo A:

Encontre as assíntotas horizontais de: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$

Lembre-se de que as assíntotas horizontais aparecem quando x se estende ao infinito positivo ou negativo, então precisamos descobrir a que essa fração se aproxima quando x fica enorme. Para fazer isso, escolheremos os termos “dominantes” no numerador e denominador. Os termos dominantes são aqueles com os maiores expoentes. Conforme x vai para o infinito, os outros termos são pequenos demais para fazer muita diferença.

Os maiores expoentes neste caso são os mesmos no numerador e no denominador (3). Os termos dominantes em cada um têm um expoente de 3. Livre-se dos outros termos e simplifique riscando \ (x ^ 3 \) na parte superior e inferior. Lembre-se de que não estamos resolvendo uma equação aqui – estamos alterando o valor excluindo termos arbitrariamente, mas a ideia é ver os limites da função conforme x fica muito grande.

$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$

(Observe que também há uma assíntota vertical presente neste .)

Se o expoente no denominador da função for maior do que o expoente no numerador, a assíntota horizontal será y = 0, que é o eixo x. À medida que x se aproxima do positivo ou negativo infinito, esse denominador será b e muito, muito maior que o numerador (infinitamente maior, na verdade) e tornará a fração geral igual a zero.

Se houver um expoente maior no numerador de uma determinada função, então NÃO há horizontal assíntota. Por exemplo:

$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$

NÃO haverá assíntota (s) horizontal (s) porque há um expoente MAIOR no numerador, que é 3. Está vendo? Isso fará com que a função aumente para sempre, em vez de se aproximar de uma assíntota. O gráfico desta função está abaixo. Observe que, novamente, também há assíntotas verticais presentes no gráfico.

Amostra B:

Encontre as assíntotas horizontais de: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)

Neste exemplo, a função está na forma fatorada. No entanto, devemos converter a função para a forma padrão conforme indicado nas etapas acima antes da Amostra A. Isso significa que temos que multiplicá-la, para que possamos observar os termos dominantes.

Amostra B, no padrão formulário, se parece com isto:

$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$

Próximo: Siga as etapas anteriores. Eliminamos tudo, exceto os maiores expoentes de x encontrados no numerador e denominador. Depois de fazer isso, a função acima se torna:

$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$

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