Trova asintoti orizzontali di una funzione

Cosè un asintoto orizzontale?

Un asintoto orizzontale è un valore y su un grafico che a la funzione si avvicina ma non la raggiunge. Ecco un semplice esempio grafico in cui la funzione rappresentata graficamente si avvicina, ma non raggiunge mai, \ (y = 0 \). In effetti, non importa quanto lontano si rimpicciolisca questo grafico, ha comunque vinto “raggiungere lo zero. Tuttavia, devo sottolineare che gli asintoti orizzontali possono apparire solo in una direzione e possono essere incrociati a piccoli valori di x. Verranno visualizzati per valori grandi e mostreranno landamento di una funzione mentre x va verso linfinito positivo o negativo.

Per trovare asintoti orizzontali, possiamo scrivere la funzione sotto forma di “y =”. Puoi aspettarti di trovare asintoti orizzontali quando stai tracciando una funzione razionale, come: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). Si verificano quando il grafico della funzione si avvicina sempre di più a un valore particolare senza mai raggiungere effettivamente quel valore poiché x diventa molto positivo o molto negativo.

Per trovare asintoti orizzontali:

Esempio A:

Trova gli asintoti orizzontali di: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$

Ricorda che gli asintoti orizzontali appaiono come x si estende allinfinito positivo o negativo, quindi dobbiamo capire a cosa si avvicina questa frazione quando x diventa enorme. Per fare ciò, sceglieremo i termini “dominanti” al numeratore e al denominatore. I termini dominanti sono quelli con gli esponenti maggiori. Poiché x va allinfinito, gli altri termini sono troppo piccoli per fare molta differenza.

Gli esponenti più grandi in questo caso sono gli stessi nel numeratore e nel denominatore (3). I termini dominanti in ciascuno hanno un esponente 3. Elimina gli altri termini e poi semplifica cancellando \ (x ^ 3 \) in alto e in basso. Ricorda che “non stiamo risolvendo unequazione qui – stiamo cambiando il valore cancellando arbitrariamente i termini, ma lidea è di vedere i limiti della funzione man mano che x diventa molto grande.

$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$

(Notare che “è presente anche un asintoto verticale funzione.)

Se lesponente nel denominatore della funzione è maggiore dellesponente nel numeratore, lasintoto orizzontale sarà y = 0, che è lasse x. Quando x si avvicina positivo o negativo infinito, quel denominatore sarà b e molto, molto più grande del numeratore (infinitamente più grande, infatti) e renderà la frazione complessiva uguale a zero.

Se cè un esponente più grande nel numeratore di una data funzione, allora NON cè orizzontale asintoto. Ad esempio:

$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$

NON ci saranno asintoti orizzontali perché cè un esponente PIÙ GRANDE al numeratore, che è 3. Lo vedi? Ciò farà aumentare la funzione per sempre invece di avvicinarsi da vicino a un asintoto. La trama di questa funzione è sotto. Nota che ancora una volta sono presenti asintoti verticali nel grafico.

Esempio B:

Trova gli asintoti orizzontali di: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)

In questo esempio, la funzione è in forma fattorizzata. Tuttavia, dobbiamo convertire la funzione nella forma standard come indicato nei passaggi precedenti prima del Campione A. Ciò significa che dobbiamo moltiplicarla, in modo da poter osservare i termini dominanti.

Esempio B, in standard form, ha questo aspetto:

$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$

Successivo: segui i passaggi precedenti. Eliminiamo tutto tranne i maggiori esponenti di x trovati nel numeratore e nel denominatore. Dopo averlo fatto, la funzione precedente diventa:

$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$

Collegamenti a lezioni simili da altri siti:

Calcolatore di asintoti

Basta digitare la funzione e selezionare “Trova gli asintoti” dalla casella a discesa. Fai clic su risposta per vedere tutti gli asintoti (completamente gratuiti) o registrati per una prova gratuita per vedere i dettagli dettagliati dettagliati della soluzione.