Quest-ce quune asymptote horizontale?
Une asymptote horizontale est une valeur y sur un graphique qui a fonction approche mais natteint pas réellement. Voici un exemple graphique simple où la fonction graphique sapproche, mais natteint jamais tout à fait, \ (y = 0 \). En fait, peu importe à quel point vous effectuez un zoom arrière sur ce graphique, elle a quand même gagné « t atteindre zéro. Cependant, je dois souligner que les asymptotes horizontales ne peuvent apparaître que dans une seule direction et peuvent être croisées à de petites valeurs de x. Ils apparaîtront pour de grandes valeurs et montreront la tendance dune fonction lorsque x va vers linfini positif ou négatif.
Pour trouver des asymptotes horizontales, nous pouvons écrire la fonction sous la forme « y = ». Vous pouvez vous attendre à trouver des asymptotes horizontales lorsque vous tracez une fonction rationnelle, telle que: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). Ils se produisent lorsque le graphique de la fonction se rapproche de plus en plus dune valeur particulière sans jamais atteindre réellement cette valeur car x devient très positif ou très négatif.
Pour trouver des asymptotes horizontales:
1) Mettez léquation ou la fonction sous forme y =.
2) Multipliez (développez) tous les polynômes factorisés dans le numérateur ou le dénominateur.
3) Supprimer tout sauf les termes avec les plus grands exposants de x trouvés dans le numérateur et le dénominateur. Ce sont les termes « dominants ».
Exemple A:
Trouvez les asymptotes horizontales de: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$
Rappelez-vous que les asymptotes horizontales apparaissent lorsque x sétend à linfini positif ou négatif, nous devons donc comprendre ce que cette fraction approche lorsque x devient énorme. Pour ce faire, nous choisirons les termes « dominants » dans le numérateur et le dénominateur. Les termes dominants sont ceux qui ont les plus grands exposants. Lorsque x va vers linfini, les autres termes sont trop petits pour faire une grande différence.
Les plus grands exposants dans ce cas sont les mêmes dans le numérateur et le dénominateur (3). Les termes dominants dans chacun ont un exposant de 3. Éliminez les autres termes et simplifiez-les en barrant le \ (x ^ 3 \) en haut et en bas. Noubliez pas que nous « ne résolvons pas une équation ici – nous modifions la valeur en supprimant arbitrairement des termes, mais lidée est de voir les limites de la fonction lorsque x devient très grand.
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$ 
(Notez quil y a aussi une asymptote verticale présente dans ce .)
Si lexposant dans le dénominateur de la fonction est plus grand que lexposant dans le numérateur, lasymptote horizontale sera y = 0, qui est laxe des x. Lorsque x sapproche du positif ou du négatif linfini, ce dénominateur sera b e beaucoup, beaucoup plus grand que le numérateur (infiniment plus grand, en fait) et rendra la fraction globale égale à zéro.
Sil y a un plus grand exposant dans le numérateur dune fonction donnée, alors il ny a PAS dhorizontale asymptote. Par exemple:
$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$
Il ny aura AUCUNE asymptote (s) horizontale (s) car il y a un PLUS GRAND exposant dans le numérateur, qui est 3. Le voir? Cela fera augmenter la fonction pour toujours au lieu de sapprocher de près dune asymptote. Le graphique de cette fonction est ci-dessous. Notez quil y a encore une fois des asymptotes verticales présentes sur le graphique.
Exemple B:
Trouvez les asymptotes horizontales de: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)
Dans cet exemple, la fonction est sous forme factorisée. Cependant, nous devons convertir la fonction en forme standard comme indiqué dans les étapes ci-dessus avant léchantillon A. Cela signifie que nous devons la multiplier, afin que nous puissions observer les termes dominants.
Exemple B, en standard forme, ressemble à ceci:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$
Suivant: Suivez les étapes précédentes. Nous supprimons tout sauf les plus grands exposants de x trouvés dans le numérateur et le dénominateur. Après cela, la fonction ci-dessus devient:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$
Liens vers des leçons similaires dautres sites:
Asymptotes horizontales (Purplemath.com)
Calculatrice dasymptotes
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