¿Qué es una asíntota horizontal?
Una asíntota horizontal es un valor y en una gráfica que la función se acerca pero no alcanza. Aquí hay un ejemplo gráfico simple en el que la función graficada se acerca, pero nunca llega, \ (y = 0 \). De hecho, no importa qué tan lejos se aleje en este gráfico, todavía ganó «t llegar a cero. Sin embargo, debo señalar que las asíntotas horizontales pueden aparecer solo en una dirección y pueden cruzarse en valores pequeños de x. Aparecerán para valores grandes y mostrarán la tendencia de una función a medida que x va hacia el infinito positivo o negativo.
Para encontrar asíntotas horizontales, podemos escribir la función en forma de «y =». Puede esperar encontrar asíntotas horizontales cuando traza una función racional, como: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). Ocurren cuando la gráfica de la función se acerca cada vez más a un valor particular sin llegar a alcanzar ese valor, ya que x se vuelve muy positivo o muy negativo.
Para encontrar asíntotas horizontales:
1) Pon la ecuación o función en forma y =.
2) Multiplica (expande) cualquier polinomio factorizado en el numerador o denominador.
3) Elimina todo excepto los términos con los mayores exponentes de x que se encuentran en el numerador y denominador. Estos son los términos «dominantes».
Ejemplo A:
Encuentre las asíntotas horizontales de: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$
Recuerde que las asíntotas horizontales aparecen cuando x se extiende al infinito positivo o negativo, por lo que necesitamos averiguar a qué se acerca esta fracción cuando x se vuelve enorme. Para hacer eso, elegiremos los términos «dominantes» en el numerador y denominador. Los términos dominantes son aquellos con los mayores exponentes. Cuando x va al infinito, los otros términos son demasiado pequeños para hacer mucha diferencia.
Los mayores exponentes en este caso son los mismos en el numerador y denominador (3). Los términos dominantes en cada uno tienen un exponente de 3. Deshazte de los otros términos y luego simplifica tachando \ (x ^ 3 \) en la parte superior e inferior. Recuerde que no estamos resolviendo una ecuación aquí; estamos cambiando el valor eliminando términos arbitrariamente, pero la idea es ver los límites de la función a medida que x se vuelve muy grande.
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$ 
(Observe que también hay una asíntota vertical presente en este función.)
Si el exponente en el denominador de la función es mayor que el exponente en el numerador, la asíntota horizontal será y = 0, que es el eje x. A medida que x se acerca a positivo o negativo infinito, ese denominador será b e mucho, mucho más grande que el numerador (infinitamente más grande, de hecho) y hará que la fracción total sea igual a cero.
Si hay un exponente más grande en el numerador de una función dada, entonces NO hay horizontal asíntota. Por ejemplo:
$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$
NO habrá asíntotas horizontales porque hay un exponente MÁS GRANDE en el numerador, que es 3. ¿Lo ves? Esto hará que la función aumente para siempre en lugar de acercarse a una asíntota. La gráfica de esta función está a continuación. Tenga en cuenta que de nuevo también hay asíntotas verticales presentes en el gráfico.
Ejemplo B:
Encuentre las asíntotas horizontales de: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)
En este ejemplo, la función está en forma factorizada. Sin embargo, debemos convertir la función a la forma estándar como se indica en los pasos anteriores antes de la Muestra A. Eso significa que tenemos que multiplicarla, para que podamos observar los términos dominantes.
Muestra B, en estándar formulario, se ve así:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$
Siguiente: Siga los pasos anteriores. Dejamos todo excepto los mayores exponentes de x que se encuentran en el numerador y denominador. Después de hacerlo, la función anterior se convierte en:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$
Enlaces a lecciones similares de otros sitios:
Asíntotas horizontales (Purplemath.com)
Calculadora de asíntotas
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