Was ist eine horizontale Asymptote?
Eine horizontale Asymptote ist ein y-Wert in einem Diagramm, das a Funktion nähert sich, erreicht aber nicht tatsächlich. Hier ist ein einfaches grafisches Beispiel, in dem sich die grafische Funktion nähert, aber nie ganz erreicht, \ (y = 0 \). Unabhängig davon, wie weit Sie dieses Diagramm verkleinern, hat es dennoch gewonnen „t Null erreichen. Ich möchte jedoch darauf hinweisen, dass horizontale Asymptoten möglicherweise nur in einer Richtung auftreten und bei kleinen Werten von x gekreuzt werden können. Sie werden für große Werte angezeigt und zeigen den Trend einer Funktion, wenn x in Richtung positive oder negative Unendlichkeit geht.
Um horizontale Asymptoten zu finden, können wir die Funktion in Form von „y =“ schreiben. Sie können erwarten, horizontale Asymptoten zu finden, wenn Sie eine rationale Funktion zeichnen, wie zum Beispiel: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). Sie treten auf, wenn der Graph der Funktion einem bestimmten Wert immer näher kommt, ohne diesen Wert jemals zu erreichen, wenn x sehr positiv oder sehr negativ wird.
So finden Sie horizontale Asymptoten:
1) Setzen Sie die Gleichung oder Funktion in y = form.
2) Multiplizieren Sie alle faktorisierten Polynome (erweitern Sie sie) im Zähler oder Nenner.
3) Entfernen Sie alles außer den Begriffen mit den größten Exponenten von x im Zähler und Nenner. Dies sind die „dominanten“ Begriffe.
Beispiel A:
Finden Sie die horizontalen Asymptoten von: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$
Denken Sie daran, dass horizontale Asymptoten erscheinen, wenn sich x bis zur positiven oder negativen Unendlichkeit erstreckt. Wir müssen also herausfinden, wie sich dieser Bruch nähert, wenn x riesig wird. Dazu wählen wir die „dominanten“ Terme im Zähler und Nenner aus. Dominante Terme sind diejenigen mit den größten Exponenten. Wenn x gegen unendlich geht, sind die anderen Terme zu klein, um einen großen Unterschied zu machen.
Die größten Exponenten sind in diesem Fall im Zähler und Nenner (3) gleich. Die dominanten Terme in jedem haben einen Exponenten von 3. Entfernen Sie die anderen Terme und vereinfachen Sie sie, indem Sie \ (x ^ 3 streichen) \) oben und unten. Denken Sie daran, dass wir hier keine Gleichung lösen – wir ändern den Wert durch willkürliches Löschen von Begriffen, aber die Idee ist, die Grenzen der Funktion zu sehen, wenn x sehr groß wird.
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$ 
(Beachten Sie, dass darin auch eine vertikale Asymptote vorhanden ist Funktion.)
Wenn der Exponent im Nenner der Funktion größer ist als der Exponent im Zähler, ist die horizontale Asymptote y = 0, was die x-Achse ist. Wenn sich x positiv oder negativ nähert unendlich, dieser Nenner wird b e viel, viel größer als der Zähler (tatsächlich unendlich größer) und macht den Gesamtbruch gleich Null.
Wenn der Zähler einer bestimmten Funktion einen größeren Exponenten enthält, gibt es KEINE Horizontale Asymptote. Zum Beispiel:
$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$
Es gibt KEINE horizontalen Asymptoten, da es einen GRÖSSEREN Exponenten gibt im Zähler, welcher ist 3. Sehen Sie es? Dadurch wird die Funktion für immer erhöht, anstatt sich einer Asymptote zu nähern. Das Diagramm dieser Funktion ist unten. Beachten Sie, dass im Diagramm auch vertikale Asymptoten vorhanden sind.
Beispiel B:
Suchen Sie die horizontalen Asymptoten von: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)
In diesem Beispiel ist die Funktion in faktorisierter Form. Wir müssen die Funktion jedoch in die Standardform konvertieren, wie in den obigen Schritten vor Beispiel A angegeben. Das bedeutet, dass wir sie multiplizieren müssen, damit wir die dominanten Terme beobachten können.
Beispiel B im Standard Das Formular sieht folgendermaßen aus:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$
Weiter: Befolgen Sie die vorherigen Schritte. Wir lassen alles außer den größten Exponenten von x fallen, die im Zähler und Nenner gefunden werden. Danach lautet die obige Funktion:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$
Links zu ähnlichen Lektionen von anderen Websites:
Horizontale Asymptoten (Purplemath.com)
Asymptotenrechner
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