Hvad er en vandret asymptote?
En vandret asymptote er en y-værdi på en graf, som en funktion nærmer sig, men når faktisk ikke. Her er et simpelt grafisk eksempel, hvor den grafiske funktion nærmer sig, men aldrig helt når \ (y = 0 \). Uanset hvor langt du zoomer ud på denne graf, vandt den stadig “når ikke nul. Jeg skal dog påpege, at vandrette asymptoter kun kan vises i en retning og kan krydses med små værdier på x. De vil dukke op for store værdier og vise tendensen for en funktion, når x går mod positiv eller negativ uendelighed.
For at finde vandrette asymptoter kan vi skrive funktionen i form af “y =”. Du kan forvente at finde vandrette asymptoter, når du tegner en rationel funktion, såsom: \ (y = \ frac {x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9} {2x ^ 3-8x + 3} \). De opstår, når grafen for funktionen vokser tættere og tættere på en bestemt værdi uden nogensinde at nå den værdi, da x bliver meget positiv eller meget negativ.
For at finde vandrette asymptoter:
1) Sæt ligning eller funktion i y = form.
2) Multiplicer (udvid) alle fakturerede polynomer i tælleren eller nævneren.
3) Fjern alt undtagen de termer med de største eksponenter af x, der findes i tælleren og nævneren. Dette er de “dominerende” termer.
Eksempel A:
Find de vandrette asymptoter af: $$ f (x) = \ frac {2x ^ 3-2} {3x ^ 3-9} $$
Husk, at vandrette asymptoter vises som x strækker sig til positiv eller negativ uendelighed, så vi er nødt til at finde ud af, hvad denne brøk nærmer sig, da x bliver enorm. For at gøre det vælger vi de “dominerende” termer i tælleren og nævneren. Dominante udtryk er de med de største eksponenter. Da x går til uendelig, er de andre termer for små til at gøre stor forskel.
De største eksponenter i dette tilfælde er de samme i tælleren og nævneren (3). De dominerende termer i hver har en eksponent på 3. Slip af med de andre termer og forenk derefter ved at krydse \ (x ^ 3 \) i toppen og bunden. Husk, at vi ikke løser en ligning her – vi ændrer værdien ved vilkårligt at slette vilkår, men ideen er at se funktionens grænser, når x bliver meget stor.
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 3} {3x ^ 3} $$ 
(Bemærk at der også er en lodret asymptote til stede i dette funktion.)
Hvis eksponenten i nævneren for funktionen er større end eksponenten i tælleren, vil den vandrette asymptote være y = 0, hvilket er x-aksen. Når x nærmer sig positiv eller negativ uendelig, vil nævneren b e meget, meget større end tælleren (uendeligt større, faktisk) og vil gøre den samlede brøkdel lig med nul.
Hvis der er en større eksponent i tælleren for en given funktion, så er der INGEN vandret asymptote. For eksempel:
$$ f (x) = \ frac {x ^ 3-27} {2x ^ 2-4} $$
Der er INGEN vandret asymptote (r), fordi der er en STØRRE eksponent i tælleren, hvilket er 3. Kan du se det? Dette vil få funktionen til at stige for evigt i stedet for tæt på en asymptote. Plottet for denne funktion er nedenfor. Bemærk, at der igen også er lodrette asymptoter til stede på grafen.
Prøve B:
Find de vandrette asymptoter af: \ ( \ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)
I denne prøve er funktionen faktureret. Vi skal dog konvertere funktionen til standardform som angivet i ovenstående trin før prøve A. Det betyder, at vi er nødt til at multiplicere den, så vi kan observere de dominerende vilkår.
Prøve B, i standard form, ser sådan ud:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2 + 5x-3} {x ^ 2-2x} $$
Næste: Følg trinene fra før. Vi taber alt undtagen de største eksponenter af x, der findes i tælleren og nævneren. Efter at have gjort det, bliver ovenstående funktion:
$$ f (x) = \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} $$
Links til lignende lektioner fra andre websteder:
Horisontale asymptoter (Purplemath.com)
Asymptote-lommeregner
Skriv bare din funktion og vælg “Find asymptoter” i rullemenuen. Klik på svar for at se alle asymptoter (helt gratis), eller tilmeld dig en gratis prøveperiode for at se de fulde trinvise detaljer om løsningen.