Valsteori representerar formellt konsumenter genom en preferensrelation, och använd denna representation för att härleda likgiltighetskurvor som visar kombinationer av lika preferens gentemot konsumenten.
Preference relationsEdit
Låt
A {\ displaystyle A \;} vara en uppsättning av ömsesidigt exklusiva alternativ som en konsument kan välja mellan. a {\ displaystyle a \;} och b {\ displaystyle b \;} är generiska element i A {\ displaystyle A \;}.
På språket i exemplet ovan är uppsättningen A {\ displaystyle A \;} gjord av kombinationer av äpplen och bananer. Symbolen a {\ displaystyle a \;} är en sådan kombination, såsom 1 äpple och 4 bananer och b {\ displaystyle b \;} är en annan kombination som 2 äpplen och 2 bananer.
A preferensrelation, betecknad ⪰ {\ displaystyle \ succeq}, är en binär relation som definieras på uppsättningen A {\ displaystyle A \;}.
Uttalandet
a ⪰ b {\ displaystyle a \ succeq b \;}
Uttalandet
a ∼ b {\ displaystyle a \ sim b \;}
Uttalandet
a ≻ b {\ displaystyle a \ succ b \;}
C a = {b ∈ A: b ∼ a} {\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {a} = \ {b \ i A: b \ sim a \}}.
Formell länk till verktygsteori Redigera
d U (x 0, y 0) = U 1 (x 0, y 0) dx + U 2 (x 0, y 0) dy {\ displaystyle dU \ left (x_ { 0}, y_ {0} \ höger) = U_ {1} \ vänster (x_ {0}, y_ {0} \ höger) dx + U_ {2} \ vänster (x_ {0}, y_ {0} \ höger ) dy}
eller, utan förlust av allmänhet,
d U (x 0, y 0) dx = U 1 (x 0, y 0). 1 + U 2 (x 0, y 0) dydx {\ displaystyle {\ frac {dU \ left (x_ {0}, y_ {0} \ right)} {dx}} = U_ {1} (x_ {0}, y_ {0}). 1 + U_ {2 } (x_ {0}, y_ {0}) {\ frac {dy} {dx}}} (Eq . 1) d U (x 0, y 0) dx = 0 {\ displaystyle {\ frac {dU \ left (x_ {0}, y_ {0} \ right)} {dx}} = 0}, eller ersätter 0 in i (ekv. 1) ovan för att lösa dy / dx: d U (x 0, y 0) dx = 0 ⇔ dydx = – U 1 (x 0, y 0) U 2 (x 0, y 0) {\ displaystyle {\ frac {dU \ left (x_ {0}, y_ {0} \ right)} {dx}} = 0 \ Leftrightarrow {\ frac {dy} {dx}} = – {\ frac {U_ {1} (x_ {0}, y_ {0})} {U_ {2} (x_ {0}, y_ {0})}}}.
ExempelRedigera
Linjärt verktygRedigera
d x d y = – β α. {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = – {\ frac {\ beta} {\ alpha}}.}
Cobb – Douglas utilityEdit
dxdy = – α 1 – α (yx) . {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = – {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right).}
CES utilityEdit
En allmän CES-form (Constant Elasticity of Substitution) är
U (x, y) = (α x ρ + (1 – α) y ρ) 1 / ρ {\ displaystyle U (x, y) = \ left (\ alpha x ^ {\ rho} + (1- \ alpha) y ^ {\ rho} \ right) ^ {1 / \ rho}} U 1 (x, y) = α (α x ρ + (1 – α) y ρ) (1 / ρ) – 1 x ρ – 1 {\ displaystyle U_ {1} (x, y) = \ alpha \ left (\ alpha x ^ {\ rho } + (1- \ alpha) y ^ {\ rho} \ höger) ^ {\ vänster (1 / \ rho \ höger) -1} x ^ {\ rho -1}}
och
U 2 (x, y) = (1 – α) (α x ρ + (1 – α) y ρ) (1 / ρ) – 1 y ρ – 1. {\ displaystyle U_ {2} (x, y) = (1- \ alpha) \ left (\ alpha x ^ {\ rho} + (1- \ alpha) y ^ {\ rho} \ right) ^ {\ left (1 / \ rho \ höger) -1} y ^ {\ rho -1}.}
Därför, längs en likgiltighetskurva,
dxdy = – 1 – α α (xy) 1 – ρ. {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = – {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) ^ {1- \ rho}.}
Dessa exempel kan vara användbara för modellering av individuell eller sammanlagd efterfrågan.
BiologyEdit
Som används i biologi är likgiltighetskurvan en modell för hur djur ”bestämmer ”om man ska utföra ett visst beteende, baserat på förändringar i två variabler som kan öka i intensitet, en längs x-axeln och den andra längs y-axeln. Till exempel kan x-axeln mäta den tillgängliga mängden mat medan y-axeln mäter risken för att få den. Likgiltighetskurvan ritas för att förutsäga djurets beteende på olika nivåer av risk och tillgänglighet.