選択理論は、消費者を選好関係で正式に表現し、この表現を使用して、消費者と同等の選好の組み合わせを示す無差別曲線を導き出します。
選好関係編集
Let
{\ displaystyle A \;}は、消費者が選択できる相互に排他的な選択肢のセットです。 a {\ displaystyle a \;}およびb {\ displaystyle b \;}はA {\ displaystyle A \;}の一般的な要素です。
上記の例の言語では、セットA {\ displaystyle A \;}はリンゴとバナナの組み合わせで構成されています。記号a {\ displaystyle a \;}は、リンゴ1個とバナナ4個など、そのような組み合わせの1つであり、b {\ displaystyle b \;}は、リンゴ2個とバナナ2個などの別の組み合わせです。
A ⪰{\ displaystyle \ succeq}で示される優先関係は、セットA {\ displaystyle A \;}で定義されるバイナリ関係です。
ステートメント
a⪰b{\ displaystyle a \ succeq b \;}
ステートメント
a〜b {\ displaystyle a \ sim b \;}
ステートメント
a≻b{\ displaystyle a \ succ b \;}
C a = {b∈A：b〜a} {\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {a} = \ {b \ in A：b \ sim a \}}。
効用理論への正式なリンク編集
d U（x 0、y 0）= U 1（x 0、y 0）dx + U 2（x 0、y 0）dy {\ displaystyle dU \ left（x_ { 0}、y_ {0} \ right）= U_ {1} \ left（x_ {0}、y_ {0} \ right）dx + U_ {2} \ left（x_ {0}、y_ {0} \ right ）dy}
または、一般性を失うことなく、
d U（x 0、y 0）dx = U 1（x 0、y 0）.1 + U 2（x 0、y 0）dydx {\ displaystyle {\ frac {dU \ left（x_ {0}、y_ {0} \ right）} {dx}} = U_ {1}（x_ {0}、y_ {0}）。1 + U_ {2 }（x_ {0}、y_ {0}）{\ frac {dy} {dx}}}（式。 1）d U（x 0、y 0）dx = 0 {\ displaystyle {\ frac {dU \ left（x_ {0}、y_ {0} \ right）} {dx}} = 0}、または、0を代入dy / dxを解くために上記の（式1）に：d U（x 0、y 0）dx =0⇔dydx= − U 1（x 0、y 0）U 2（x 0、y 0）{\ displaystyle {\ frac {dU \ left（x_ {0}、y_ {0} \ right）} {dx}} = 0 \ Leftrightarrow {\ frac {dy} {dx}} =-{\ frac {U_ {1} （x_ {0}、y_ {0}）} {U_ {2}（x_ {0}、y_ {0}）}}}。
ExamplesEdit
線形utilityEdit
d x d y = −βα。 {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} =-{\ frac {\ beta} {\ alpha}}。}
Cobb–Douglas UtilityEdit
dxdy = −α1 −α（yx） 。 {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} =-{\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}} \ left（{\ frac {y} {x}} \ right）。}
CES UtilityEdit
一般的なCES（Constant Elasticity of Substitution）形式は
U（x、y）=（αxρ+（1 −α）yρ）1 /ρ{\ displaystyle U（x、y）= \ left（\ alpha x ^ {\ rho} +（1- \ alpha）y ^ {\ rho} \ right）^ {1 / \ rho}} U 1（x、y）= α（αxρ+（1 −α）yρ）（1 /ρ）− 1 xρ− 1 {\ displaystyle U_ {1}（x、y）= \ alpha \ left（\ alpha x ^ {\ rho } +（1- \ alpha）y ^ {\ rho} \ right）^ {\ left（1 / \ rho \ right）-1} x ^ {\ rho -1}}
および
U 2（x、y）=（1 −α）（αxρ+（1 −α）yρ）（1 /ρ）− 1 yρ−1。 {\ displaystyle U_ {2}（x、y）=（1- \ alpha）\ left（\ alpha x ^ {\ rho} +（1- \ alpha）y ^ {\ rho} \ right）^ {\ left （1 / \ rho \ right）-1} y ^ {\ rho-1}。}
したがって、無差別曲線に沿って
dxdy = − 1 −αα（xy）1 −ρ。 {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} =-{\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left（{\ frac {x} {y}} \ right）^ {1- \ rho}。}
これらの例は、個人または総需要のモデル化に役立つ可能性があります。
BiologyEdit
生物学で使用されるように、無差別曲線は動物が「決定する方法」のモデルです。 「強度が増加する可能性のある2つの変数の変化に基づいて特定の動作を実行するかどうか。1つはx軸に沿って、もう1つはy軸に沿って。たとえば、x軸は利用可能な食品の量を測定し、y軸はそれを入手することに伴うリスクを測定する場合があります。無差別曲線は、さまざまなレベルのリスクと餌の入手可能性における動物の行動を予測するために描かれています。