P kontra NPEdit
Frågan är huruvida, för alla problem för vilka en algoritm kan verifiera en given lösning snabbt (det vill säga på polynomtid), kan en algoritm också hitta den lösningen snabbt. Eftersom den förstnämnda beskriver klassen av problem som kallas NP, medan den senare beskriver P, är frågan likvärdig med frågan om alla problem i NP också finns i P. Detta anses allmänt vara en av de viktigaste öppna frågorna i matematik och teoretisk datavetenskap eftersom det har långtgående konsekvenser för andra problem inom matematik, och för biologi, filosofi och kryptografi (se P kontra NP problemkonsekvenser). Ett vanligt exempel på ett NP-problem som inte är känt för att vara P är det booleska tillfredsställande problemet.
De flesta matematiker och datavetare förväntar sig att P ≠ NP; emellertid förblir det obevisat.
Det officiella uttalandet om problemet gavs av Stephen Cook.
Hodge conjectureEdit
Hodge-antagandet är att för projektiva algebraiska sorter är Hodge-cykler rationella linjära kombinationer av algebraiska cykler.
Det officiella uttalandet om problemet gavs av Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Riemann-hypotesen är att alla icke-privata nollor i den analytiska fortsättningen av Riemann zeta-funktionen har en verklig del av 1/2. Ett bevis eller oskydd av detta skulle få långtgående konsekvenser i talteorin, särskilt för fördelningen av primtal. Detta var Hilberts åttonde problem och anses fortfarande vara ett viktigt öppet problem ett sekel senare.
Det officiella uttalandet om problemet gavs av Enrico Bombieri.
Yang – Mills existens och massgapEdit
I fysik är klassisk Yang – Mills teori en generalisering av Maxwell-teorin om elektromagnetism där det kromelektromagnetiska fältet som en klassisk fältteori har lösningar som färdas med ljusets hastighet så att dess kvantversion ska beskriva masslösa partiklar (gluoner). Men det postulerade fenomenet för färgstängning tillåter endast bundna tillstånd av gluoner och bildar massiva partiklar. Detta är massklyftan. En annan aspekt av inneslutning är asymptotisk frihet som gör det tänkbart att kvant-Yang-Mills-teorin existerar utan begränsning till skalor med lågenergi. Problemet är att strikt fastställa existensen av kvant-Yang-Mills-teorin och ett massgapet.
Det officiella uttalandet om problemet gavs av Arthur Jaffe och Edward Witten.
Navier – Stokes existens och smidighet Redigera
Navier – Stokes-ekvationerna beskriver vätskans rörelse och är en av pelarna i vätskemekaniken. Den teoretiska förståelsen för deras lösningar är dock ofullständig. I synnerhet inkluderar lösningarna i ekvationerna Navier – Stokes ofta turbulens, vars allmänna lösning förblir ett av de största olösta problemen i fysik, trots dess oerhörda betydelse inom vetenskap och teknik.
Även grundläggande egenskaper hos lösningar på Navier – Stokes har aldrig bevisats. För det tredimensionella ekvationssystemet, och med tanke på vissa initiala villkor, har matematiker ännu inte bevisat att smidiga lösningar alltid finns under alla tider. Detta kallas Navier – Stokes existens- och jämnhetsproblem.
Problemet är att göra framsteg mot en matematisk teori som ger insikt i dessa ekvationer genom att bevisa antingen att det finns smidiga, globalt definierade lösningar som uppfyller vissa förhållanden, eller att de inte alltid existerar och ekvationerna bryts ner.
Det officiella uttalandet om problemet gavs av Charles Fefferman.
Birch och Swinnerton-Dyer gissningarEdit
Antagandet Birch och Swinnerton-Dyer handlar om vissa typer av ekvationer: de som definierar elliptiska kurvor över de rationella siffrorna. Antagandet är att det finns ett enkelt sätt att avgöra om sådana ekvationer har ett ändligt eller oändligt antal rationella lösningar. Hilberts tionde problem handlade om en mer allmän typ av ekvation, och i så fall bevisades det att det inte finns något sätt att avgöra om en given ekvation ens har några lösningar.
Problemets officiella uttalande gavs av Andrew Wiles.