Kinetisk energi hos styva kroppar
I klassisk mekanik är den kinetiska energin hos ett punktobjekt (ett objekt så litet att dess massa kan antas existera vid ett punkt), eller en icke-roterande styv kropp beror på kroppens massa och dess hastighet. Den kinetiska energin är lika med 1/2 produkten av massan och hastigheten kvadrat. I formelform:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
där m {\ displaystyle m} är massan och v {\ displaystyle v} är kroppens hastighet (eller hastighet). I SI-enheter mäts massan i kilogram, hastigheten i meter per sekund och den resulterande kinetiska energin är i joule.
Till exempel skulle man beräkna den kinetiska energin för en 80 kg massa (cirka 180 kg) ) färdas med 18 meter per sekund (cirka 40 mph, eller 65 km / h) som
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ vänster (18 \, {\ text {m / s}} \ höger ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
När en person kastar en boll arbetar personen på den för att ge den hastighet när den lämnar handen. Den rörliga bollen kan sedan träffa något och trycka på den och göra arbete på vad den träffar. Det rörliga föremålets kinetiska energi är lika med det arbete som krävs för att få det från vila till den hastigheten, eller det arbete objektet kan göra medan det vilas: nettokraft × förskjutning = kinetisk energi, dvs
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Eftersom den kinetiska energin ökar med hastighetens kvadrat har ett objekt som fördubblar dess hastighet fyra gånger lika mycket kinetisk energi. Till exempel kräver en bil som kör dubbelt så fort som en annan fyra gånger så mycket avstånd för att stanna, förutsatt att den konstant bromsar. Som en konsekvens av denna fyrdubbling tar det fyra gånger arbetet att fördubbla hastigheten.
Ett objekts kinetiska energi är relaterat till dess moment genom ekvationen:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
där:
p {\ displaystyle p \;} är momentum m {\ displaystyle m \;} är kroppens massa
För translationell kinetisk energi, det vill säga den kinetiska energin associerad med raklinjig rörelse, av en stel kropp med konstant massa m {\ displaystyle m \;}, vars masscentrum är rör sig i en rak linje med hastighet v {\ displaystyle v \;}, som vi ser ovan är lika med
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
där:
m {\ displaystyle m \;} är kroppens massa v {\ displaystyle v \;} är hastigheten för masscentrum av kroppen.
Vilken enhets kinetiska energi beror på referensramen där den mäts. Den totala energin i ett isolerat system, dvs. ett i vilket energi varken kan komma in eller lämna, ändras emellertid inte över tid i referensramen där det mäts. Sålunda delas den kemiska energin som omvandlas till kinetisk energi av en raketmotor olika mellan raketfartyget och dess avgasström beroende på den valda referensramen. Detta kallas Oberth-effekten. Men systemets totala energi, inklusive kinetisk energi, bränslekemisk energi, värme etc. sparas över tiden, oavsett val av referensram. Olika observatörer som rör sig med olika referensramar skulle dock inte vara överens om värdet av denna konserverade energi.
Den kinetiska energin för sådana system beror på valet av referensram: referensramen som ger minimivärdet för den energin är centrum för momentumramen, dvs referensramen i vilken systemets totala momentum är noll. Denna minsta kinetiska energi bidrar till systemets invarianta massa som helhet.
Derivation
Arbetet som görs för att accelerera en partikel med massa m under det oändliga tidsintervallet dt ges av punktprodukten av kraft F och den oändliga förskjutningen dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
där vi har antagit förhållandet p = mv och giltigheten av Newtons andra lag. ( Se även den speciella relativistiska härledningen nedan.)
Tillämpar vi produktregeln ser vi att:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Därför (förutsatt nackdelar tantmassa så att dm = 0), har vi,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Eftersom detta är en total skillnad (det vill säga det beror bara på det slutliga tillståndet, inte hur partikeln kom dit), kan vi integrera den och kalla resultatet kinetisk energi. Förutsatt att objektet var i vila vid tid 0, integrerar vi från tid 0 till tid t eftersom arbetet som utförs av kraften för att föra objektet från vila till hastighet v är lika med det arbete som krävs för att göra omvänd:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Denna ekvation anger att den kinetiska energin (Ek) är lika med integralen av punktprodukten av kroppens hastighet (v) och kroppens oändliga förändring ” s momentum (p). Det antas att kroppen börjar utan kinetisk energi när den är i vila (rörlig).
Roterande kroppar
Om en stel kropp Q roterar omkring vilken linje som helst genom masscentrum så har den roterande kinetisk energi (Er {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) som helt enkelt är summan av kinetiska energier i dess rörliga delar, och ges således av :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
där:
(I denna ekvation måste tröghetsmomentet tas runt en axel genom massacentret och rotationen mätt med ω måste vara runt den axeln; mer generella ekvationer finns för system där objektet utsätts för vacklande på grund av dess excentriska form).
Systemets kinetiska energi
Ett system av kroppar kan ha intern kinetisk energi på grund av relativ rörelse för kropparna i systemet. Till exempel i solsystemet kretsar planeterna och planetoiderna om solen. I en tank med gas rör sig molekylerna i alla riktningar. Systemets kinetiska energi är summan av de kinetiska energierna hos de kroppar det innehåller.
En makroskopisk kropp som är stationär (dvs. en referensram har valts för att motsvara kroppens momentum ) kan ha olika typer av inre energi på molekylär eller atomenivå, som kan betraktas som kinetisk energi, på grund av molekylär translation, rotation och vibrationer, elektronöverföring och spinn, och kärnspinn. Dessa bidrar alla till kroppens massa, enligt den speciella relativitetsteorin. När man diskuterar rörelser i en makroskopisk kropp är den kinetiska energi som det hänvisas till vanligtvis endast den makroskopiska rörelsen. Men alla inre energier av alla slag bidrar till kroppens massa, tröghet och total energi.
Vätskedynamik
I vätskedynamik är den kinetiska energin per volymenhet vid varje punkt i ett okomprimerbart vätskeflödesfält kallas det dynamiska trycket vid den punkten.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Delar med V, volymenheten:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ slut {justerad}}}
där q {\ displaystyle q} är det dynamiska trycket och ρ är densiteten hos den okomprimerbara vätskan.
Referensram
Hastigheten och därmed kinetikenergin för ett enda objekt är ramberoende (relativ ): det kan ta vilket icke-negativt värde som helst genom att välja en lämplig tröghetsreferensram. Till exempel har en kula som passerar en observatör kinetisk energi i den här observatörens ram. Samma kula är stationär för en observatör som rör sig med samma hastighet som kulan och har sålunda ingen kinetisk energi. Däremot kan den totala kinetiska energin i ett objektsystem inte reduceras till noll genom ett lämpligt val av tröghetsreferensramen, såvida inte alla föremål har samma hastighet. I något annat fall har den totala kinetiska energin ett minimum som inte är noll, eftersom ingen tröghetsreferensram kan väljas i vilken alla föremål är stationära. Denna minsta kinetiska energi bidrar till systemets invarianta massa, som är oberoende av referensramen.
Den totala kinetiska energin i ett system beror på tröghetsreferensramen: det är summan av den totala kinetisk energi i ett centrum för momentum och den kinetiska energi som den totala massan skulle ha om den koncentrerades i massacentret.
Detta kan enkelt visas: låt V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} är den relativa hastigheten för centrum för massram i i ramen k.Eftersom
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Sedan,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Således är ett systems kinetiska energi lägst till referenscentrumets momentum ramar, dvs referensramar i vilka masscentrum är stationärt (antingen centrum för massram eller något annat centrum för momentumram). I varje annan referensram finns ytterligare kinetisk energi som motsvarar den totala massan som rör sig med massacentrets hastighet. Systemets kinetiska energi i mitten av momentum-ramen är en kvantitet som är invariant (alla observatörer ser att det är detsamma).
Rotation i system
Ibland är det bekvämt att dela upp den totala kinetiska energin i en kropp i summan av kroppens masscentrala translationella kinetiska energi och rotationsenergin runt masscentrumet (rotationsenergi):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
där:
Ek är den totala kinetiska energin Et är translationell kinetisk energi Er är rotationsenergi eller vinkel kinetisk energi i vilaramen
Således är den kinetiska energin hos en tennisboll under flygning den kinetiska energin på grund av dess rotation plus den kinetiska energin på grund av dess translation. / p>