PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ limit _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alfa _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ höger), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Fellers karaktärisering av föreningen Poisson-fördelningen säger att ett icke-negativt heltal värderat rv X {\ displaystyle X} är oändligt delbart om och bara om dess fördelning är en diskret sammansatt Poisson-fördelning. Det kan visas att den negativa binomialfördelningen är diskret oändligt delbar, dvs om X har en negativ binomial fördelning, för varje positivt heltal n finns det diskreta slumpvariabler X1, …, Xn vars summa har samma fördelning som X har. Skiftets geometriska fördelning är diskret sammansatt Poisson-distribution si nce det är ett trivialt fall av negativ binomial fördelning.
Denna distribution kan modellera batchankomster (t.ex. i en masskö). Den diskreta föreningen Poisson-distribution används också i stor utsträckning inom aktuariell vetenskap för modellering av fördelningen av det totala anspråksbeloppet.
När vissa α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} är icke-negativa är det den diskreta pseudoföreningens Poisson-fördelning. Vi definierar att alla diskreta slumpmässiga variabler Y {\ displaystyle Y} som uppfyller sannolikhetsgenererande funktionskarakterisering
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ limit _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limit _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}