GrunddefinitionRedigera
Funktionen f kan tolkas som en familj av funktioner för en variabel som indexeras av de andra variablerna:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Med andra ord, varje värde på y definierar en funktion, betecknad fy , som är en funktion av en variabel x. Det vill säga
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
I detta avsnitt betecknar prenumerationsnotationen fy en funktion som är beroende av ett fast värde på y och inte en partiell derivat.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
I detta uttryck är a en konstant, inte en variabel, så fa är en funktion av endast en verklig variabel, det vill säga x. Följaktligen gäller definitionen av derivatet för en funktion av en variabel:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} ”(x) = 2x + a.}
Ovanstående procedur kan utföras för val av val av a. Att sätta samman derivaten till en funktion ger en funktion som beskriver variationen av f i x riktning:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
Detta är det partiella derivatet av f med avseende på x. Här ∂ är en rundad d som kallas den partiella derivatens symbol. För att skilja den från bokstaven d uttalas ibland ”partiell”.
I allmänhet definieras det partiella derivatet av en n-ary-funktion f (x1, …, xn) i riktningen xi vid punkten (al, …, an) att vara:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
I ovanstående skillnadskvotient, alla variabler utom x jag hålls fast. Valet av fasta värden bestämmer en funktion av en variabel
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
och per definition,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Med andra ord, de olika alternativen för ett index en familj med en variabel fungerar precis som i exemplet ovan. Detta uttryck visar också att beräkningen av partiella derivat minskar till beräkningen av en-variabla derivat.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ höger).}
Denna vektor kallas lutningen för f vid a. Om f är differentierbart vid varje punkt i någon domän, är gradienten en vektorvärderad funktion ∇f som tar punkten a till vektorn ∇f (a). Följaktligen producerar lutningen ett vektorfält.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ vänster {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 + … + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Formell definitionRedigera
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ till 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {align}} }
Även om alla partiella derivat ∂f / ∂xi (a) existerar vid en given punkt a, funktionen behöver inte vara kontinuerlig där. Men om alla partiella derivat existerar i ett område av a och är kontinuerliga där, är f helt differentierbart i det området och det totala derivatet är kontinuerligt. I detta fall sägs det att f är en C1-funktion. Detta kan användas för att generalisera för vektorvärderade funktioner, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} genom att försiktigt använda ett komponentvis argument.
Delderivatet ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} kan ses som en annan funktion definierad på U och kan återigen delvis differentieras. Om alla blandade andra ordningens partiella derivat är kontinuerliga vid en punkt (eller i en uppsättning) kallas f en C2-funktion vid den punkten (eller i den uppsättningen); i detta fall kan delderivaten bytas ut av Clairauts teorem:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ delvis x_ {i}}}.}