Apothem a kan användas för att hitta ytan för vilken som helst vanlig n-sidig polygon med sidlängd s enligt följande formel, som också säger att arean är lika med den multiplicerade apothem med hälften av omkretsen eftersom ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Denna formel kan härledas genom att partitionera den n-sidiga polygonen i n kongruenta likbeniga trianglar, och notera sedan att apotemet är höjden på varje triangel, och att ytan av en triangel är lika med halva basen gånger höjden. Följande formuleringar är alla ekvivalenta:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 barnsäng (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ höger) = na ^ {2} \ tan \ vänster ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ höger)}
Ett apotem av en vanlig polygon kommer alltid att vara en radie av den inskrivna cirkeln. Det är också det minsta avståndet mellan vilken sida som helst av polygonen och dess centrum.
Den här egenskapen kan också användas för att enkelt härleda formeln för en cirkel, för när antalet sidor närmar sig oändligheten, det vanliga polygonområdet närmar sig området för den inskrivna cirkeln med radie r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}