Adiabatisk process

Den matematiska ekvationen för en idealgas som genomgår en reversibel (dvs. entropigenerering) adiabatisk process kan representeras av den polytropiska processekvationen

PV γ = konstant, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {konstant}},}

där P är tryck, V är volym och för detta fall n = γ, där

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP är den specifika värmen för konstant tryck, CV är den specifika värmen för konstant volym, γ är adiabatiskt index och f är antalet frihetsgrader (3 för monatomisk gas, 5 för diatomisk gas och kollinära molekyler, t.ex. koldioxid).

För en monatomisk idealgas, γ = 5/3, och för en diatomisk gas (såsom kväve och syre, luftens huvudkomponenter), γ = 7/5. Observera att formeln ovan endast är tillämplig på klassiska idealgaser och inte Bose – Einstein- eller Fermi-gaser.

För reversibla adiabatiska processer är det också sant att

P 1 – γ T γ = konstant , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {konstant}},} VT f 2 = konstant, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {konstant}},}

där T är en absolut temperatur. Detta kan också skrivas som

T V γ – 1 = konstant. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {konstant}}.}

Exempel på adiabatisk kompressionEdit

Kompressionsslaget i en bensinmotor kan användas som ett exempel på adiabatisk kompression. Modellantagandena är: cylinderns okomprimerade volym är en liter (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); gasen inuti är luften som endast består av molekylärt kväve och syre (alltså en kiselgas med 5 frihetsgrader, och så γ = 7/5); motorns kompressionsförhållande är 10: 1 (det vill säga 1 liter volym okomprimerad gas reduceras till 0,1 liter av kolven); och den okomprimerade gasen har ungefär rumstemperatur och tryck (en varm rumstemperatur på ~ 27 ° C, eller 300 K, och ett tryck på 1 bar = 100 kPa, dvs. typiskt atmosfärstryck vid havsnivå).

P 1 V γ = konstant 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatornamn {konstant} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0.001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ gånger 6.31 \ gånger 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

så vår adiabatiska konstant för detta exempel är ungefär 6,31 Pa m4.2.

Gasen komprimeras nu till en volym på 0,1 L (0,0001 m3) (vi antar att detta händer tillräckligt snabbt för att ingen värme kan komma in i eller lämna gasen genom väggarna). Den adiabatiska konstanten förblir densamma, men med det resulterande trycket okänt

P 2 V γ = konstant 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatornamn {konstant} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ gånger (0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

så löser för P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ gånger 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ gånger 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

eller 25.1 bar. Observera att denna tryckökning är mer än ett enkelt kompressionsförhållande på 10: 1 skulle indikera; detta beror på att gasen inte bara komprimeras utan arbetet som görs för att komprimera gasen ökar också dess inre energi, vilket manifesterar sig genom en ökning av gastemperaturen och en ytterligare tryckökning över vad som skulle bli resultatet av en förenklad beräkning av 10 gånger det ursprungliga trycket.

Vi kan även lösa temperaturen på den komprimerade gasen i motorcylindern med den ideala gaslagen, PV = nRT (n är mängden gas i mol och R gasen konstant för den gasen). Våra initiala förhållanden är 100 kPa tryck, 1 liter volym och 300 K temperatur, vår experimentella konstant (nR) är:

PVT = konstant 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Vi vet att den komprimerade gasen har V = 0,1 L och P = 2,51 × 106 Pa, så att vi kan lösa temperaturen:

T = PV-konstant 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Det är en slutlig temperatur på 753 K, eller 479 ° C, eller 896 ° F, långt över antändningspunkten för många bränslen. Detta är anledningen till att en högkompressionsmotor kräver bränslen som är speciellt utformade för att inte självantända (vilket skulle orsaka att motorn bankar när den används under dessa temperatur- och tryckförhållanden), eller att en kompressor med en intercooler ger en tryckökning men med en lägre temperaturökning skulle vara fördelaktigt. En dieselmotor arbetar under ännu mer extrema förhållanden, med kompressionsförhållanden på 16: 1 eller mer, som är typiska för att ge en mycket hög gastemperatur, vilket säkerställer omedelbar antändning av det injicerade bränslet.

Adiabatic free expansion av en gasEdit

För en adiabatisk fri expansion av en idealgas ingår gasen i en isolerad behållare och får sedan expandera i vakuum. Eftersom det inte finns något yttre tryck för gasen att expandera mot är arbetet som utförs av eller på systemet noll. Eftersom denna process inte involverar någon värmeöverföring eller arbete, innebär den första lagen om termodynamik att systemets inre energiförändring är noll. För en idealisk gas förblir temperaturen konstant eftersom den inre energin bara beror på temperaturen i så fall. Eftersom entropin vid konstant temperatur är proportionell mot volymen ökar entropin i detta fall, därför är denna process oåterkallelig. > Definitionen av en adiabatisk process är att värmeöverföringen till systemet är noll, δQ = 0. Sedan, enligt termodynamikens första lag,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

där dU är förändringen i systemets interna energi och δW utförs av systemet. Allt arbete (δW) som utförs måste göras på bekostnad av intern energi U, eftersom ingen värme δQ tillförs från omgivningen. Tryck – volymarbete δW utfört av systemet definieras som

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P förblir dock inte konstant under en adiabatisk process utan ändras istället tillsammans med V.

Det är önskvärt att veta hur värdena för dP och dV relaterar till varandra när den adiabatiska processen fortskrider. För en idealgas (minns idealgaslag PV = nRT) ges den interna energin av

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

där α är antalet frihetsgrader dividerat med två, R är den universella gaskonstanten och n är antalet mol i systemet (en konstant).

Differentierande ekvation (3) ger

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Ekvation (4) uttrycks ofta som dU = nCV dT eftersom CV = αR.

Ersätt nu ekvationer (2) och (4) i ekvation (1) för att erhålla

– Pd V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

faktorize −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

och dela båda sidor med PV:

– (α + 1) d VV = a d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Efter att ha integrerat vänster och höger sida från V0 till V och från P0 till P och byta sidor respektive,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ höger).}

Exponentiera båda sidor, ersätt α + 1 / α med γ, värmekapacitetsförhållandet

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

och eliminera det negativa tecknet för att erhålla

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Därför

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ höger) ^ {\ gamma} = 1,}

och

P 0 V 0 γ = PV γ = konstant. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivation av P – T-relation för adiabatisk uppvärmning och kylning Redigera

Genom att ersätta den ideala gaslagen i ovanstående får vi

P (n RTP) γ = konstant, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ höger) ^ {\ gamma } = \ operatornamn {konstant},}

vilket förenklar till

P 1 – γ T γ = konstant. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivation of discrete formula and work expressionEdit

Change of internal energy of a system , mätt från tillstånd 1 till tillstånd 2, är lika med

(1) AU = α R n T2 – α R n Ti = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Samtidigt är det arbete som utförs av tryck-volymen förändras till följd av denna process, lika med

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Eftersom vi kräver att processen är adiabatisk, följande ekvation måste vara sant

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Av föregående härledning,

(4) PV y = konstant = P 1 V 1 y. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Omarrangemang (4 ) ger

P = P 1 (V 1 V) y. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Att ersätta detta med (2) ger

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrering får vi uttrycket för arbete,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – y. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Ersätter γ = α + 1 / α i andra termen,

W = – α P 1 V1 γ (V2 1 – γ – V1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Omorganisering,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ höger).}

Med den ideala gaslagstiftningen och antagande av en konstant molmängd (som ofta händer i praktiska fall),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Med den kontinuerliga formeln,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ höger) ^ {- \ gamma},}

eller

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Ersätter W i föregående uttryck,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ höger).}

Att ersätta detta uttryck och (1) i (3) ger

α n R (T2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ höger).}

Förenkling,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ vänster (\ vänster ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ höger) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ höger),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ vänster ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ höger) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T2 = Ti (P2P1) y – 1 y. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ vänster ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ höger) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }