Las fórmulas siguientes involucran sumas finitas; para sumas infinitas o sumas finitas de expresiones que involucran funciones trigonométricas u otras funciones trascendentales, vea la lista de series matemáticas.
Identidades generalesEditar
∑ n = st C ⋅ f (n) = C ⋅ ∑ n = stf (n) {\ Displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (distributividad) ∑ norte = stf (n) ± ∑ norte = stg (n) = ∑ n = st (f (n) ± g (n)) {\ Displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s} ^ {t} g (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} \ left (f (n) \ pm g (n) \ right) \ quad} (conmutatividad y asociatividad) ∑ n = stf (n) = ∑ n = s + pt + pf (n – p) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ suma _ {n = s + p} ^ {t + p} f (np) \ quad} (cambio de índice) ∑ norte ∈ segundo f (n) = ∑ m ∈ A f (σ (m)), {\ Displaystyle \ sum _ {n \ in B} f (n) = \ sum _ {m \ in A} f (\ sigma (m)), \ quad} para una biyección σ de un conjunto finito A sobre un conjunto B (índice cambio); esto generaliza la fórmula anterior. ∑ norte = stf (n) = ∑ norte = sjf (n) + ∑ norte = j + 1 tf (n) {\ Displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ { n = s} ^ {j} f (n) + \ sum _ {n = j + 1} ^ {t} f (n) \ quad} (dividiendo una suma, usando asociatividad) ∑ n = abf (n) = ∑ norte = 0 bf (n) – ∑ norte = 0 a – 1 f (n) {\ Displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ { b} f (n) – \ sum _ {n = 0} ^ {a-1} f (n) \ quad} (una variante de la fórmula anterior) ∑ n = stf (n) = ∑ n = 0 t – sf (t – n) {\ Displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f (tn) \ quad} (la suma de la el primer término hasta el último es igual a la suma del último hasta el primero) ∑ n = 0 tf (n) = ∑ n = 0 tf (t – n) {\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (tn) \ quad} (un caso particular de la fórmula anterior) ∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 ai, j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 ai, j {\ Displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ { 0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ { 1}} a_ {i, j} \ quad} (conmutatividad y asociatividad, nuevamente) ∑ k ≤ j ≤ i ≤ nai, j = ∑ i = kn ∑ j = kiai, j = ∑ j = kn ∑ i = jnai, j = ∑ j = 0 norte – k ∑ i = kn – jai + j, i {\ Displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k} ^ {n} \ sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k} ^ {n} \ sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0} ^ {nk} \ sum _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} \ quad} (otra aplicación de conmutatividad y asociatividad) ∑ n = 2 s 2 t + 1 f (n) = ∑ n = stf (2 n) + ∑ n = stf (2 n + 1) { \ Displaystyle \ sum _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n) + \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n + 1) \ quad} (dividiendo una suma en sus partes pares e impares, para índices pares) ∑ n = 2 s + 1 2 tf (n) = ∑ n = s + 1 tf (2 n) + ∑ n = s + 1 tf (2 n – 1) {\ Displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f ( 2n) + \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n-1) \ quad} (dividiendo una suma en sus partes pares e impares, para índices impares) (∑ i = 0 nai) (∑ j = 0 nbj) = ∑ yo = 0 norte ∑ j = 0 naibj {\ Displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad} ( distrib utividad) ∑ i = sm ∑ j = tnaicj = (∑ i = smai) (∑ j = tncj) {\ Displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s} ^ {m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ right) \ quad} (la distributividad permite la factorización) ∑ n = st log b f (n) = log b ∏ n = stf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ { t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores) C ∑ n = stf (n) = ∏ n = st C f (n) {\ displaystyle C ^ {\ sum \ limits _ {n = s} ^ {t} f (n)} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} \ quad} (el exponencial de una suma es el producto del exponencial de los sumandos)
Potencias y logaritmos de progresiones aritméticasEditar
∑ i = 1 nc = nc {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c = nc \ quad} para cada do que no depende de i ∑ i = 0 ni = ∑ i = 1 ni = n (n + 1) 2 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2 }} \ qquad} (Suma de la progresión aritmética más simple, que consta de n fi primeros números naturales.): 52 ∑ i = 1 n (2 i – 1) = n 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (2i-1) = n ^ {2} \ qquad} (Suma de los primeros números naturales impares) ∑ i = 0 n 2 i = n (n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} 2i = n (n + 1) \ qquad} (Sum de los primeros números naturales pares) ∑ i = 1 n log i = log n! {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log i = \ log n! \ qquad} (Una suma de logaritmos es el logaritmo del producto) ∑ i = 0 ni 2 = ∑ i = 1 ni 2 = norte (norte + 1) (2 norte + 1) 6 = norte 3 3 + norte 2 2 + norte 6 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad} (Suma de los primeros cuadrados, ver número piramidal cuadrado.): 52 ∑ i = 0 ni 3 = (∑ i = 0 ni) 2 = (n (n + 1) 2) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2 }} {4}} \ qquad} (teorema de Nicomachus): 52
Más generalmente, uno tiene la fórmula de Faulhaber
∑ k = 1 nkp = np + 1 p + 1 + 1 2 np + ∑ k = 2 p (pk) B kp – k + 1 np – k + 1, {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \, n ^ {p-k + 1},}
donde B k {\ displaystyle B_ {k}} denota un número de Bernoulli y (pk ) {\ displaystyle {\ binom {p} {k}}} es un coeficiente binomial.
Índice de suma en exponentesEditar
En las siguientes sumas, se supone que a es diferente de 1.
∑ i = 0 n – 1 ai = 1 – an 1 – a {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1- a ^ {n}} {1-a}}} (suma de una progresión geométrica) ∑ i = 0 n – 1 1 2 i = 2 – 1 2 n – 1 {\ displayst yle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2 – {\ frac {1} {2 ^ {n-1}}}} ( caso especial para a = 1/2) ∑ i = 0 n – 1 iai = a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n -1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}}} (a veces la derivada con respecto a a de la progresión geométrica) ∑ i = 0 n – 1 (b + id) ai = b ∑ i = 0 n – 1 ai + d ∑ i = 0 n – 1 iai = b (1 – an 1 – a) + d (a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2) = b (1 – an) – (n – 1) dan 1 – a + da (1 – an – 1) (1 – a) 2 {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left (b + id \ right) a ^ {i} & = b \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \ \ & = b \ left ({\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right) + d \ left ({\ frac {a- na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}} \ right) \\ & = { \ frac {b (1-a ^ {n}) – (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da (1-a ^ {n-1})} { (1-a) ^ {2}}} \ end {alineado}}} (suma de una secuencia aritmética-geométrica)
Coeficientes binomiales y factori alsEdit
Existen muchas identidades de suma que involucran coeficientes binomiales (un capítulo completo de Matemáticas concretas está dedicado solo a las técnicas básicas) . Algunos de los más básicos son los siguientes.
Implica el teorema del binomioEditar
∑ i = 0 n (ni) an – ibi = (a + b) n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ elija i} a ^ {ni} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},} el teorema del binomio ∑ i = 0 n (ni) = 2 n, {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ Choose i} = 2 ^ {n},} el caso especial donde a = b = 1 ∑ i = 0 n (ni) pi ( 1 – p) n – i = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ elija i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} = 1}, el especial caso donde p = a = 1 – b, que, para 0 ≤ p ≤ 1, {\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,} expresa la suma de la distribución binomial ∑ i = 0 ni (ni) = n (2 n – 1), {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i {n \ elija i} = n (2 ^ {n-1}),} el valor en a = b = 1 de derivada con respecto a a del teorema del binomio ∑ i = 0 n (ni) i + 1 = 2 n + 1 – 1 n + 1, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac { n \ elija i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}},} el valor en a = b = 1 de la antiderivada con respecto a a de el teorema del binomio
que involucra números de permutaciónEditar
En las siguientes sumas, n P k {\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}} es el número de k-permutaciones de n.
∑ i = 0 ni P k (ni) = norte P k (2 norte – k) {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ elige i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {nk})} ∑ yo = 1 ni + k P k + 1 = ∑ yo = 1 norte ∏ j = 0 k (i + j) = (n + k + 1) ! (n – 1)! (k + 2) {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = {\ frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}} ∑ i = 0 ni! ⋅ (norte yo) = ∑ yo = 0 norte norte P yo = ⌊ norte! ⋅ mi ⌋, norte ∈ Z + {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i! \ Cdot {n \ elija i} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ { n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}, donde y ⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor} denota el piso función.
OtrosEditar
∑ k = 0 m (n + kn) = (n + m + 1 n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ left ({\ begin {matriz} {c} n + k \\ n \\\ end {matriz}} \ right) = \ left ({\ begin {matriz} {c} n + m + 1 \\ n + 1 \\\ end {matriz}} \ derecha)} ∑ yo = kn (ik) = (n + 1 k + 1) {\ Displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} {i \ elija k} = {n + 1 \ elija k + 1}} ∑ i = 0 ni ⋅ i! = (n + 1)! – 1 {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ cdot i! = (N + 1)! – 1} ∑ i = 0 n (m + i – 1 i) = (m + nn ) {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ elige i} = {m + n \ elige n}} ∑ i = 0 n (ni) 2 = (2 nn) {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ elija i} ^ {2} = {2n \ elija n}} ∑ i = 0 n 1 i! = ⌊ n! e ⌋ n! {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}
Números armónicosEditar
∑ i = 1 n 1 i = H n {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}} (es decir el enésimo número armónico) ∑ i = 1 n 1 ik = H nk {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}} (que es un número armónico generalizado)