Proces adiabatic

Ecuația matematică pentru un gaz ideal supus unui reversibil (adică, nu generare de entropie) procesul adiabatic poate fi reprezentat de ecuația procesului poltropic

PV γ = constant, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},}

unde P este presiune, V este volum, iar pentru acest caz n = γ, unde

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP fiind căldura specifică pentru presiune constantă, CV fiind căldura specifică pentru volum constant, γ este indicele adiabatic și f este numărul de grade de libertate (3 pentru gaz monatomic, 5 pentru gaz diatomic și molecule coliniare, de exemplu dioxid de carbon).

Pentru un gaz ideal monatomic, γ = 5/3 și pentru un gaz diatomic (cum ar fi azotul și oxigenul, principalele componente ale aerului), γ = 7/5. Rețineți că formula de mai sus se aplică numai gazelor ideale clasice și nu gazelor Bose – Einstein sau Fermi.

Pentru procesele adiabatice reversibile, este adevărat că

P 1 – γ T γ = constantă , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},} VT f 2 = constant, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

unde T este o temperatură absolută. Aceasta poate fi scrisă și ca

T V γ – 1 = constantă. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Exemplu de compresie adiabatică Editare

Cursa de compresie într-un motor pe benzină poate fi utilizată ca exemplu de adiabatic comprimare. Ipotezele modelului sunt: volumul necomprimat al cilindrului este de un litru (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); gazul din interior este aerul constând numai din azot molecular și oxigen (deci un gaz diatomic cu 5 grade de libertate, deci γ = 7/5); raportul de compresie al motorului este de 10: 1 (adică volumul de 1 L de gaz necomprimat este redus la 0,1 L de către piston); iar gazul necomprimat este la aproximativ temperatura și presiunea camerei (o temperatură caldă a camerei de ~ 27 ° C sau 300 K și o presiune de 1 bar = 100 kPa, adică presiunea atmosferică tipică la nivelul mării).

P 1 V γ = constant 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6,31 \ times 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

deci constanta noastră adiabatică pentru acest exemplu este de aproximativ 6,31 Pa m4.2.

Gazul este acum comprimat la un volum de 0,1 L (0,0001 m3) (vom presupune că acest lucru se întâmplă suficient de repede încât să nu poată intra sau ieși gazul prin pereți). Constanta adiabatică rămâne aceeași, dar cu presiunea rezultată necunoscută

P 2 V γ = constantă 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

deci rezolvarea pentru P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ times 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

sau bara 25.1. Rețineți că această creștere a presiunii este mai mult decât ar indica un raport de compresie simplu 10: 1; acest lucru se datorează faptului că gazul nu este doar comprimat, dar munca făcută pentru comprimarea gazului crește și energia sa internă, care se manifestă printr-o creștere a temperaturii gazului și o creștere suplimentară a presiunii peste ceea ce ar rezulta dintr-un calcul simplist de de presiunea inițială.

Putem rezolva și temperatura gazului comprimat din cilindrul motorului, folosind legea ideală a gazului, PV = nRT (n este cantitatea de gaz în moli și R gazul constantă pentru acel gaz). Condițiile noastre inițiale fiind de 100 kPa de presiune, 1 L volum și 300 K de temperatură, constanta noastră experimentală (nR) este:

PVT = constant 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3 300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Știm că gazul comprimat are V = 0,1 L și P = 2,51 × 106 Pa, deci putem rezolva temperatura:

T = constanta PV 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Aceasta este o temperatură finală de 753 K sau 479 ° C sau 896 ° F, cu mult peste punctul de aprindere al multor combustibili. Acesta este motivul pentru care un motor cu compresie ridicată necesită combustibili special formulați pentru a nu se autoaprinde (ceea ce ar cauza bătăile motorului atunci când funcționează în aceste condiții de temperatură și presiune) sau că un supraalimentator cu un intercooler pentru a oferi o creștere a presiunii, dar cu o creșterea temperaturii ar fi avantajoasă. Un motor diesel funcționează în condiții și mai extreme, raporturile de compresie de 16: 1 sau mai mult fiind tipice, pentru a asigura o temperatură a gazului foarte ridicată, care asigură aprinderea imediată a combustibilului injectat.

Fără adiabatic expansiunea unui gazEdit

Pentru o expansiune liberă adiabatică a unui gaz ideal, gazul este conținut într-un recipient izolat și apoi lăsat să se extindă în vid. Deoarece nu există presiune externă pentru ca gazul să se extindă, munca efectuată de sau asupra sistemului este zero. Deoarece acest proces nu implică niciun transfer de căldură sau lucru, prima lege a termodinamicii implică atunci că schimbarea energiei interne nete a sistemului este zero. Pentru un gaz ideal, temperatura rămâne constantă, deoarece energia internă depinde doar de temperatură în acest caz. Deoarece la temperatură constantă, entropia este proporțională cu volumul, entropia crește în acest caz, prin urmare acest proces este ireversibil.

Derivarea relației P-V pentru încălzirea și răcirea adiabatică Editați

Definiția unui proces adiabatic este că transferul de căldură către sistem este zero, δQ = 0. Apoi, conform primei legi a termodinamicii,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

unde dU este schimbarea energiei interne a sistemului și δW este lucrarea realizată de sistem. Orice lucrare (δW) efectuată trebuie făcută în detrimentul energiei interne U, deoarece nu se furnizează căldură δQ din împrejurimi. Lucrul presiune-volum δW realizat de sistem este definit ca

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

Cu toate acestea, P nu rămâne constant în timpul unui proces adiabatic, ci se schimbă împreună cu V.

Se dorește să se știe cum se raportează valorile dP și dV între ele pe măsură ce se desfășoară procesul adiabatic. Pentru un gaz ideal (amintiți legea gazului ideal PV = nRT) energia internă este dată de

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

unde α este numărul de grade de libertate împărțit la două, R este constanta universală a gazului și n este numărul de moli din sistem (o constantă).

Ecuația de diferențiere (3) produce

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Ecuația (4) este adesea exprimată ca dU = nCV dT deoarece CV = αR.

Înlocuiți acum ecuațiile (2) și (4) în ecuația (1) pentru a obține

– P d V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

factorizează −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

și împarte ambele părți la PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

După integrarea laturilor stânga și dreapta de la V0 la V și de la P0 la P și respectiv schimbarea laturilor,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Exponentați ambele părți, înlocuiți α + 1 / α cu γ, raportul capacității termice

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

și eliminați semnul negativ pentru a obține

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Prin urmare,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

și

P 0 V 0 γ = PV γ = constantă. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivarea relației P-T pentru încălzire și răcire adiabatică Editare

Înlocuind legea gazului ideal în cele de mai sus, obținem

P (n RTP) γ = constantă, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constant},}

care simplifică la

P 1 – γ T γ = constantă. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivarea formulei discrete și a expresiei de lucru Editare

Modificarea energiei interne a unui sistem , măsurată de la starea 1 la starea 2, este egală cu

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

În același timp, munca efectuată de presiunea-volum se modifică ca urmare a acestui proces, este egală cu

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Întrucât solicităm ca procesul să fie adiabatic, următoarea ecuație trebuie să fie adevărată

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

derivare,

(4) PV γ = constantă = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Rearanjare (4 ) dă

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Înlocuirea acestuia în (2) dă

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrând obținem expresia pentru lucru,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Înlocuind γ = α + 1 / α în al doilea termen,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Rearanjare,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Folosind legea ideală a gazelor și asumând o cantitate molară constantă (așa cum se întâmplă adesea în cazuri practice),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

După formula continuă,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

sau

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Înlocuind expresia anterioară cu W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({left {{frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ dreapta).}

Înlocuind această expresie și (1) în (3) se obține

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({left {{frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ dreapta).}

Simplificare,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ dreapta),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }