Energia cinetică a corpurilor rigide
În mecanica clasică, energia cinetică a unui obiect punct (un obiect atât de mic încât se poate presupune că masa sa există la unul punct), sau un corp rigid care nu se rotește depinde de masa corpului, precum și de viteza acestuia. Energia cinetică este egală cu 1/2 produsul masei și pătratul vitezei. În formă de formulă:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
unde m {\ displaystyle m} este masa și v {\ displaystyle v} este viteza (sau viteza) corpului. În unitățile SI, masa se măsoară în kilograme, viteza în metri pe secundă, iar energia cinetică rezultată este în jouli.
De exemplu, s-ar calcula energia cinetică a unei mase de 80 kg (aproximativ 180 lbs ) călătoresc cu 18 metri pe secundă (aproximativ 40 mph, sau 65 km / h) ca
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12.960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}
Când o persoană aruncă o minge, persoana lucrează la ea pentru a-i da viteza lasă mâna. Mingea în mișcare poate apoi să lovească ceva și să o împingă, lucrând la ceea ce lovește. Energia cinetică a unui obiect în mișcare este egală cu munca necesară pentru a-l aduce de la repaus la acea viteză sau lucrarea pe care obiectul o poate face în timp ce este adus în repaus: forță netă × deplasare = energie cinetică, adică,
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Deoarece energia cinetică crește odată cu pătratul vitezei, un obiect care își dublează viteza are de patru ori la fel de multă energie cinetică. De exemplu, o mașină care călătorește de două ori mai repede decât alta necesită o distanță de patru ori mai mare pentru a opri, presupunând o forță de frânare constantă. Ca o consecință a acestei cvadruplări, este nevoie de patru ori mai multă muncă pentru a dubla viteza.
Energia cinetică a unui obiect este legată de impulsul său prin ecuația:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
unde:
p {\ displaystyle p \;} este impuls m {\ displaystyle m \;} este masa corpului
Pentru energia cinetică de translație, adică energia cinetică asociată cu mișcarea rectilinie, a unui corp rigid cu masă constantă m {\ displaystyle m \;}, al cărui centru de masă este deplasarea în linie dreaptă cu viteza v {\ displaystyle v \;}, așa cum se vede mai sus, este egală cu
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
unde:
m {\ displaystyle m \;} este masa corpului v {\ displaystyle v \;} este viteza centrului de masă a corpului.
Energia cinetică a oricărei entități depinde de cadrul de referință în care este măsurată. Cu toate acestea, energia totală a unui sistem izolat, adică unul în care energia nu poate intra sau ieși, nu se schimbă în timp în cadrul de referință în care este măsurat. Astfel, energia chimică convertită în energie cinetică de un motor rachetă este împărțită diferit între racheta și fluxul său de evacuare în funcție de cadrul de referință ales. Aceasta se numește efectul Oberth. Dar energia totală a sistemului, inclusiv energia cinetică, energia chimică a combustibilului, căldura etc., este conservată în timp, indiferent de alegerea cadrului de referință. Cu toate acestea, diferiți observatori care se deplasează cu cadre de referință diferite nu ar fi de acord asupra valorii acestei energii conservate.
Energia cinetică a unor astfel de sisteme depinde de alegerea cadrului de referință: cadrul de referință care oferă valoarea minimă a energiei respective este centrul cadrului de impuls, adică cadrul de referință în care impulsul total al sistemului este zero. Această energie cinetică minimă contribuie la masa invariantă a sistemului în ansamblu.
Derivare
Lucrarea efectuată în accelerarea unei particule cu masa m în intervalul de timp infinitesimal dt este dată de produsul punct al forței F și deplasarea infinitesimală dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
unde am presupus relația p = mv și validitatea celei de-a doua legi a lui Newton. ( Cu toate acestea, a se vedea și derivarea relativistă specială de mai jos.)
Aplicând regula produsului vedem că:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Prin urmare, (presupunând contra masă atât încât dm = 0), avem,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Deoarece acesta este un diferențial total (adică depinde doar de starea finală, nu de modul în care a ajuns particula), îl putem integra și putem numi rezultatul energie cinetică. Presupunând că obiectul a fost în repaus la momentul 0, integrăm din timpul 0 în timp t, deoarece lucrarea făcută de forță pentru a aduce obiectul de la repaus la viteza v este egală cu munca necesară pentru a face invers:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Această ecuație afirmă că energia cinetică (Ek) este egală cu integrala produsului punct al vitezei (v) a unui corp și schimbării infinitesimale a corpului ” Momentul (p). Se presupune că corpul începe fără energie cinetică atunci când este în repaus (nemișcat).
Corpuri rotative
Dacă un corp rigid Q se rotește orice linie prin centrul de masă are apoi energie cinetică de rotație (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) care este pur și simplu suma energiilor cinetice ale părților sale în mișcare și este astfel dată de :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
unde:
(În această ecuație, momentul de inerție trebuie luat în jurul unei axe prin centrul de masă și rotația măsurată cu ω trebuie să fie în jurul acelei axe; există ecuații mai generale pentru sistemele în care obiectul este supus oscilației datorită formei sale excentrice).
Energia cinetică a sistemelor
Un sistem de corpuri poate avea energie cinetică internă datorită mișcarea relativă a corpurilor din sistem. De exemplu, în sistemul solar planetele și planetoizii orbitează Soarele. Într-un rezervor de gaz, moleculele se mișcă în toate direcțiile. Energia cinetică a sistemului este suma energiilor cinetice ale corpurilor pe care le conține.
Un corp macroscopic care este staționar (adică s-a ales un cadru de referință care să corespundă centrului de impuls al corpului ) poate avea diferite tipuri de energie internă la nivel molecular sau atomic, care poate fi considerată energie cinetică, datorită translației moleculare, rotației și vibrațiilor, translației și spinului electronilor și spinului nuclear. Toate acestea contribuie la masă, așa cum este prevăzută de teoria specială a relativității. Atunci când se discută despre mișcările unui corp macroscopic, energia cinetică la care se face referire este de obicei numai cea a mișcării macroscopice. Cu toate acestea, toate energiile interne de toate tipurile contribuie la masa, inerția și energia totală a corpului.
Dinamica fluidelor
În dinamica fluidelor, energia cinetică pe unitate de volum în fiecare punct din un câmp de debit de fluid incompresibil se numește presiunea dinamică în acel moment.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Împărțind la V, unitatea de volum:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {align}}}
where q {\ displaystyle q} este presiunea dinamică și ρ este densitatea fluidului incompresibil.
Cadrul de referință
Viteza și, astfel, energia cinetică a unui singur obiect este dependentă de cadru (relativă ): poate lua orice valoare non-negativă, alegând un cadru de referință inerțial adecvat. De exemplu, un glonț care trece un observator are energie cinetică în re ference cadru al acestui observator. Același glonț este staționar față de un observator care se deplasează cu aceeași viteză ca glonțul și, astfel, are energie cinetică zero. Prin contrast, energia cinetică totală a unui sistem de obiecte nu poate fi redusă la zero printr-o alegere adecvată a cadrului de referință inerțial, cu excepția cazului în care toate obiectele au aceeași viteză. În orice alt caz, energia cinetică totală are un minim diferit de zero, deoarece nu se poate alege un cadru de referință inerțial în care toate obiectele să fie staționare. Această energie cinetică minimă contribuie la masa invariantă a sistemului, care este independentă de cadrul de referință.
Energia cinetică totală a unui sistem depinde de cadrul de referință inerțial: este suma totalului energia cinetică într-un cadru al centrului de impuls și energia cinetică pe care ar avea-o masa totală dacă ar fi concentrată în centrul de masă. V}} să fie viteza relativă a centrului de masă cadru i în cadrul k.Deoarece
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Apoi,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Astfel energia cinetică a unui sistem este de la cea mai mică la cea a centrului de referință al impulsului cadre, adică cadre de referință în care centrul de masă este staționar (fie centrul cadrului de masă, fie orice alt cadru de centru de impuls). În orice cadru de referință diferit, există energie cinetică suplimentară corespunzătoare masei totale care se deplasează cu viteza centrului de masă. Energia cinetică a sistemului din centrul cadrului de impuls este o cantitate invariantă (toți observatorii văd că este aceeași).
Rotația în sisteme
Uneori este convenabilă pentru a împărți energia cinetică totală a unui corp în suma energiei cinetice de translație a centrului de masă a corpului și a energiei de rotație în jurul centrului de masă (energia de rotație):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
unde:
Ek este energia cinetică totală Et este energia cinetică de translație Er este energia de rotație sau energia cinetică unghiulară din cadrul de repaus
Astfel energia cinetică a unei mingi de tenis în zbor este energia cinetică datorită rotației sale, plus energia cinetică datorită translației sale.