PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Caracterizarea de către Feller a distribuției Poisson compuse afirmă că un număr întreg non-negativ evaluat rv X {\ displaystyle X} este infinit divizibil dacă și numai dacă distribuția sa este o distribuție Poisson compusă discretă. Se poate arăta că distribuția binomială negativă este divizibil infinit discret, adică, dacă X are o distribuție binomială negativă, atunci pentru orice număr întreg pozitiv n, există variabile aleatorii iid discrete X1, …, Xn a căror sumă are aceeași distribuție pe care o are X. Distribuția geometrică a deplasării este discretă distributie Poisson compusa si nce este un caz banal de distribuție binomială negativă.
Această distribuție poate modela sosirile în lot (cum ar fi într-o coadă în bloc). Distribuția discretă a compoziției Poisson este, de asemenea, utilizată pe scară largă în știința actuarială pentru modelarea distribuției cantității totale a cererii.
Când unele α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} sunt non-negative, este distribuția discretă pseudocompusă Poisson. Definim că orice variabilă discretă aleatoare Y {\ displaystyle Y} care îndeplinește probabilitatea de a genera caracterizarea funcției
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}