Așa cum se aplică unui poligon, o diagonală este un segment de linie care unește oricare două vârfuri non-consecutive. Prin urmare, un patrulater are două diagonale, unind perechi opuse de vârfuri. Pentru orice poligon convex, toate diagonalele sunt în interiorul poligonului, dar pentru poligoanele reintrate, unele diagonale sunt în afara poligonului.
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| laturi | Diagonale | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Regiuni formate din diagonaleEdit
Într-un poligon convex , dacă nu există trei diagonale simultane într-un singur punct din interior, numărul de regiuni în care diagonalele împart interiorul este dat de
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
Pentru n-goni cu n = 3, 4, … numărul de regiuni este
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
Aceasta este secvența OEIS A006522.
Intersecții diagonale Editare
Dacă nu există trei diagonale ale unui poligon convex într-un punct din interior, numărul interiorului intersecțiile diagonalelor sunt date de (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Acest lucru este valabil, de exemplu, pentru orice poligon regulat cu un număr impar de laturi. Formula rezultă din faptul că fiecare intersecție este determinată în mod unic de cele patru puncte finale ale celor două diagonale care se intersectează: numărul de intersecții este astfel numărul de combinații ale celor vârfuri patru la un moment dat.
Poligoane regulate
Un triunghi nu are diagonale.
Un hexagon regulat are nouă diagonale: cele șase mai scurte au o lungime egală între ele; cele trei mai lungi sunt egale între ele în lungime și se intersectează în centrul hexagonului. Raportul dintre diagonala lungă și o latură este de 2, iar raportul dintre diagonala scurtă și o latură este de 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
Un heptagon obișnuit are 14 diagonale. Cele șapte mai scurte se egalează, iar cele șapte mai lungi se egalează. Reciprocitatea laturii este egală cu suma reciprocelor unei diagonale scurte și lungi.
În orice n-gon regulat cu n egal, diagonalele lungi se intersectează reciproc în centrul poligonului.