Definiție de bazăEdit
Funcția f poate fi reinterpretată ca o familie de funcții ale unei variabile indexate de celelalte variabile:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Cu alte cuvinte, fiecare valoare a lui definește o funcție, notată fy , care este o funcție a unei variabile x. Adică,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
În această secțiune notația de indice fy denotă o funcție care depinde de o valoare fixă de y și nu derivată parțială.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
În această expresie, a este o constantă, nu o variabilă, deci fa este o funcție a unei singure variabila reala, aceasta fiind x. În consecință, se aplică definiția derivatei pentru o funcție a unei variabile:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} „(x) = 2x + a.}
Procedura de mai sus poate fi efectuată pentru orice alegere a. Asamblarea derivatelor împreună într-o funcție oferă o funcție care descrie variația lui f în direcția x:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
Aceasta este derivata parțială a lui f față de x. Aici ∂ este un d rotunjit numit simbol derivat parțial. Pentru a-l deosebi de litera d, ∂ se pronunță uneori „parțial”.
În general, derivata parțială a unei funcții n-ari f (x1, …, xn) în direcția xi la punctul (a1, …, an) este definită ca fiind:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
În coeficientul de diferență de mai sus, toate variabilele cu excepția x Sunt ținut fix. Alegerea valorilor fixe determină o funcție a unei variabile
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
și prin definiție,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Cu alte cuvinte, diferitele alegeri ale unui index o familie de funcții cu o singură variabilă la fel ca în exemplul de mai sus. Această expresie arată, de asemenea, că calculul derivatelor parțiale se reduce la calculul derivatelor cu o singură variabilă.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a), …, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ right).}
Acest vector se numește gradientul lui f la. Dacă f este diferențiat în fiecare punct al unui anumit domeniu, atunci gradientul este o funcție vectorială ∇f care duce punctul a la vectorul ∇f (a). În consecință, gradientul produce un câmp vector.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 + … + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Definiție formalăEdit
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {align}} }
Chiar dacă toate derivatele parțiale ∂f / ∂xi (a) există la un punct dat a, funcția nu trebuie să fie continuă acolo. Cu toate acestea, dacă toate derivatele parțiale există într-un vecinătate a lui și sunt continue acolo, atunci f este total diferențiat în acel vecinătate și derivata totală este continuă. În acest caz, se spune că f este o funcție C1. Aceasta poate fi utilizată pentru a generaliza funcțiile cu valoare vectorială, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} folosind cu atenție un argument component.
Derivata parțială ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} poate fi văzută ca o altă funcție definită pe U și poate fi din nou diferențiată parțial. Dacă toate derivatele parțiale de ordinul doi mixte sunt continue într-un punct (sau pe un set), f este denumită funcție C2 în acel punct (sau pe acel set); în acest caz, derivatele parțiale pot fi schimbate prin teorema lui Clairaut:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}.}