Soma

As fórmulas abaixo envolvem somas finitas; para soma infinita ou soma finita de expressões envolvendo funções trigonométricas ou outras funções transcendentais, consulte a lista de séries matemáticas.

Identidades gerais Editar

∑ n = st C ⋅ f (n) = C ⋅ ∑ n = stf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (distributividade) ∑ n = stf (n) ± ∑ n = stg (n) = ∑ n = st (f (n) ± g (n)) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s} ^ {t} g (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} \ esquerda (f (n) \ pm g (n) \ direita) \ quad} (comutatividade e associatividade) ∑ n = stf (n) = ∑ n = s + pt + pf (n – p) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ soma _ {n = s + p} ^ {t + p} f (np) \ quad} (deslocamento do índice) ∑ n ∈ B f (n) = ∑ m ∈ A f (σ (m)), {\ estilo de exibição \ sum _ {n \ in B} f (n) = \ sum _ {m \ in A} f (\ sigma (m)), \ quad} para uma bijeção σ de um conjunto finito A em um conjunto B (índice mudança); isso generaliza a fórmula anterior. ∑ n = stf (n) = ∑ n = sjf (n) + ∑ n = j + 1 tf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ { n = s} ^ {j} f (n) + \ sum _ {n = j + 1} ^ {t} f (n) \ quad} (dividindo uma soma, usando associatividade) ∑ n = abf (n) = ∑ n = 0 bf (n) – ∑ n = 0 a – 1 f (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ { b} f (n) – \ sum _ {n = 0} ^ {a-1} f (n) \ quad} (uma variante da fórmula anterior) ∑ n = stf (n) = ∑ n = 0 t – sf (t – n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f (tn) \ quad} (a soma do primeiro termo até o último é igual à soma do último até o primeiro) ∑ n = 0 tf (n) = ∑ n = 0 tf (t – n) {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (tn) \ quad} (um caso particular da fórmula acima) ∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 ai, j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 ai, j {\ displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ { 0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ { 1}} a_ {i, j} \ quad} (comutatividade e associatividade, novamente) ∑ k ≤ j ≤ i ≤ nai, j = ∑ i = kn ∑ j = kiai, j = ∑ j = kn ∑ i = jnai, j = ∑ j = 0 n – k ∑ i = kn – jai + j, i {\ displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k} ^ {n} \ sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k} ^ {n} \ sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0} ^ {nk} \ sum _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} \ quad} (outra aplicação de comutatividade e associatividade) ∑ n = 2 s 2 t + 1 f (n) = ∑ n = stf (2 n) + ∑ n = stf (2 n + 1) { \ displaystyle \ sum _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n) + \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n + 1) \ quad} (dividindo uma soma em suas partes ímpares e pares, para índices pares) ∑ n = 2 s + 1 2 tf (n) = ∑ n = s + 1 tf (2 n) + ∑ n = s + 1 tf (2 n – 1) {\ displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f ( 2n) + \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n-1) \ quad} (dividindo uma soma em suas partes ímpares e pares, para índices ímpares) (∑ i = 0 nai) (∑ j = 0 nbj) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 naibj {\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad} ( distrib utividade) ∑ i = sm ∑ j = tnaicj = (∑ i = smai) (∑ j = tncj) {\ displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s} ^ {m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ right) \ quad} (distributividade permite fatoração) ∑ n = st log b ⁡ f (n) = log b ⁡ ∏ n = stf (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ { t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores) C ∑ n = stf (n) = ∏ n = st C f (n) {\ displaystyle C ^ {\ sum \ limits _ {n = s} ^ {t} f (n)} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} \ quad} (o exponencial de uma soma é o produto do exponencial das somas)

Potências e logaritmo das progressões aritméticas Editar

∑ i = 1 nc = nc {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c = nc \ quad} para cada c que não depende de i ∑ i = 0 ni = ∑ i = 1 ni = n (n + 1) 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2 }} \ qquad} (Soma da progressão aritmética mais simples, consistindo de n fi primeiros números naturais.): 52 ∑ i = 1 n (2 i – 1) = n 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (2i-1) = n ^ {2} \ qquad} (Soma dos primeiros números naturais ímpares) ∑ i = 0 n 2 i = n (n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} 2i = n (n + 1) \ qquad} (Soma dos primeiros números naturais pares) ∑ i = 1 n log ⁡ i = log ⁡ n! {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log i = \ log n! \ qquad} (A soma dos logaritmos é o logaritmo do produto) ∑ i = 0 ni 2 = ∑ i = 1 ni 2 = n (n + 1) (2 n + 1) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad} (Soma dos primeiros quadrados, ver o número piramidal do quadrado.): 52 ∑ i = 0 ni 3 = (∑ i = 0 ni) 2 = (n (n + 1) 2) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2 }} {4}} \ qquad} (teorema de Nicômaco): 52

Mais geralmente, tem-se a fórmula de Faulhaber

∑ k = 1 nkp = np + 1 p + 1 + 1 2 np + ∑ k = 2 p (pk) B kp – k + 1 np – k + 1, {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \, n ^ {p-k + 1},}

onde B k {\ displaystyle B_ {k}} denota um número de Bernoulli, e (pk ) {\ displaystyle {\ binom {p} {k}}} é um coeficiente binomial.

Índice de soma em exponentsEdit

Nas seguintes somas, a é assumido como diferente de 1.

∑ i = 0 n – 1 ai = 1 – an 1 – a {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1- a ^ {n}} {1-a}}} (soma de uma progressão geométrica) ∑ i = 0 n – 1 1 2 i = 2 – 1 2 n – 1 {\ displayst yle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2 – {\ frac {1} {2 ^ {n-1}}}} ( caso especial para a = 1/2) ∑ i = 0 n – 1 iai = a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n -1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}}} (a vezes a derivada em relação a a da progressão geométrica) ∑ i = 0 n – 1 (b + id) ai = b ∑ i = 0 n – 1 ai + d ∑ i = 0 n – 1 iai = b (1 – an 1 – a) + d (a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2) = b (1 – an) – (n – 1) dan 1 – a + da (1 – an – 1) (1 – a) 2 {\ displaystyle {\ begin {alinhamento} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left (b + id \ right) a ^ {i} & = b \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \ \ & = b \ left ({\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right) + d \ left ({\ frac {a- na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}} \ right) \\ & = { \ frac {b (1-a ^ {n}) – (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da (1-a ^ {n-1})} { (1-a) ^ {2}}} \ end {alinhado}}} (soma de uma sequência aritmético-geométrica)

Coeficientes binomiais e fatoresi alsEdit

Existem muitas identidades de soma envolvendo coeficientes binomiais (um capítulo inteiro de matemática concreta é dedicado apenas às técnicas básicas) . Alguns dos mais básicos são os seguintes.

Envolvendo o teorema binomialEditar

∑ i = 0 n (ni) an – ibi = (a + b) n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ escolha i} a ^ {ni} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},} o teorema binomial ∑ i = 0 n (ni) = 2 n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ escolher i} = 2 ^ {n},} o caso especial onde a = b = 1 ∑ i = 0 n (ni) pi ( 1 – p) n – i = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ escolher i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} = 1}, o especial caso onde p = a = 1 – b, que, para 0 ≤ p ≤ 1, {\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,} expressa a soma da distribuição binomial ∑ i = 0 ni (ni) = n (2 n – 1), {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i {n \ escolher i} = n (2 ^ {n-1}),} o valor em a = b = 1 do derivada em relação a a do teorema binomial ∑ i = 0 n (ni) i + 1 = 2 n + 1 – 1 n + 1, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac { n \ escolha i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}},} o valor em a = b = 1 da antiderivada em relação a a de o teorema binomial

Envolvendo permutation numbersEdit

Nas seguintes somas, n P k {\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}} é o número de k-permutações de n.

∑ i = 0 ni P k (ni) = n P k (2 n – k) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ escolher i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {nk})} ∑ i = 1 ni + k P k + 1 = ∑ i = 1 n ∏ j = 0 k (i + j) = (n + k + 1) ! (n – 1)! (k + 2) {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = {\ frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}} ∑ i = 0 ni! ⋅ (n i) = ∑ i = 0 n n P i = ⌊ n! ⋅ e ⌋, n ∈ Z + {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i! \ Cdot {n \ escolha i} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ { n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}, onde e ⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor} denota o chão função.

OutrosEditar

∑ k = 0 m (n + kn) = (n + m + 1 n + 1) {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} \ left ({\ begin {array} {c} n + k \\ n \\\ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} n + m + 1 \\ n + 1 \\\ end {array}} \ right)} ∑ i = kn (ik) = (n + 1 k + 1) {\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} {i \ choose k} = {n + 1 \ escolha k + 1}} ∑ i = 0 ni ⋅ i! = (n + 1)! – 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ cdot i! = (N + 1)! – 1} ∑ i = 0 n (m + i – 1 i) = (m + nn ) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ escolher i} = {m + n \ escolher n}} ∑ i = 0 n (ni) 2 = (2 nn) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ escolher i} ^ {2} = {2n \ escolher n}} ∑ i = 0 n 1 i! = ⌊ n! e ⌋ n! {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}

Edição de números harmônicos

∑ i = 1 n 1 i = H n {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}} (isto é o enésimo número harmônico) ∑ i = 1 n 1 ik = H nk {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}} (que é um número harmônico generalizado)