Processo adiabático

A equação matemática para um gás ideal submetido a um processo reversível (ou seja, não geração de entropia) processo adiabático pode ser representado pela equação do processo politrópico

PV γ = constante, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},}

onde P é a pressão, V é o volume, e neste caso n = γ, onde

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP sendo o calor específico para pressão constante, CV sendo o calor específico para volume constante, γ é o índice adiabático e f é o número de graus de liberdade (3 para gás monoatômico, 5 para gás diatômico e moléculas colineares, por exemplo, dióxido de carbono).

Para um gás monoatômico ideal, γ = 5/3, e para um gás diatômico (como nitrogênio e oxigênio, os principais componentes do ar), γ = 7/5. Observe que a fórmula acima só se aplica a gases clássicos clássicos e não a gases de Bose-Einstein ou Fermi.

Para processos adiabáticos reversíveis, também é verdade que

P 1 – γ T γ = constante , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},} VT f 2 = constante, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

onde T é uma temperatura absoluta. Isso também pode ser escrito como

T V γ – 1 = constante. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Exemplo de edição de compressão adiabática

O curso de compressão em um motor a gasolina pode ser usado como exemplo de adiabático compressão. Os pressupostos do modelo são: o volume não comprimido do cilindro é um litro (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); o gás interno é o ar que consiste em nitrogênio molecular e oxigênio apenas (portanto, um gás diatômico com 5 graus de liberdade e, portanto, γ = 7/5); a taxa de compressão do motor é de 10: 1 (isto é, o volume de 1 L de gás não comprimido é reduzido para 0,1 L pelo pistão); e o gás não comprimido está aproximadamente à temperatura e pressão ambiente (uma temperatura ambiente quente de ~ 27 ° C, ou 300 K, e uma pressão de 1 bar = 100 kPa, ou seja, pressão atmosférica típica ao nível do mar).

P 1 V γ = constante 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6,31 \ times 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

então nossa constante adiabática para este exemplo é cerca de 6,31 Pa m4.2.

O gás agora é comprimido a um volume de 0,1 L (0,0001 m3) (assumiremos que isso acontece rápido o suficiente para que nenhum calor entre ou saia do gás pelas paredes). A constante adiabática permanece a mesma, mas com a pressão resultante desconhecida

P 2 V γ = constante 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

resolvendo assim para P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6,31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ vezes 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ vezes 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

ou 25,1 bar. Observe que esse aumento de pressão é mais do que uma taxa de compressão simples de 10: 1 indicaria; isso porque o gás não é apenas comprimido, mas o trabalho feito para comprimir o gás também aumenta sua energia interna, que se manifesta por um aumento na temperatura do gás e um aumento adicional na pressão acima do que resultaria de um cálculo simplista de 10 vezes a pressão original.

Podemos resolver para a temperatura do gás comprimido no cilindro do motor também, usando a lei do gás ideal, PV = nRT (n é a quantidade de gás em moles e R o gás constante para esse gás). Nossas condições iniciais sendo 100 kPa de pressão, 1 L de volume e 300 K de temperatura, nossa constante experimental (nR) é:

PVT = constante 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3 300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Sabemos que o gás comprimido tem V = 0,1 L e P = 2,51 × 106 Pa, então podemos resolver para a temperatura:

T = constante PV 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2,51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Essa é uma temperatura final de 753 K, ou 479 ° C, ou 896 ° F, bem acima do ponto de ignição de muitos combustíveis. É por isso que um motor de alta compressão requer combustíveis especialmente formulados para não se auto-inflamar (o que causaria batidas do motor quando operado sob essas condições de temperatura e pressão), ou que um superalimentador com intercooler para fornecer um aumento de pressão, mas com um menor o aumento da temperatura seria vantajoso. Um motor diesel opera em condições ainda mais extremas, com taxas de compressão de 16: 1 ou mais sendo típicas, a fim de fornecer uma temperatura do gás muito alta, o que garante a ignição imediata do combustível injetado.

Sem adiabático expansão de um gásEdit

Para uma expansão livre adiabática de um gás ideal, o gás é contido em um recipiente isolado e então permitido se expandir no vácuo. Como não há pressão externa contra a qual o gás possa se expandir, o trabalho feito pelo ou no sistema é zero. Como esse processo não envolve nenhuma transferência de calor ou trabalho, a primeira lei da termodinâmica implica que a variação líquida de energia interna do sistema é zero. Para um gás ideal, a temperatura permanece constante porque a energia interna depende apenas da temperatura nesse caso. Visto que em temperatura constante, a entropia é proporcional ao volume, a entropia aumenta neste caso, portanto, este processo é irreversível.

Derivação da relação P – V para aquecimento e resfriamento adiabáticoEditar

A definição de um processo adiabático é que a transferência de calor para o sistema é zero, δQ = 0. Então, de acordo com a primeira lei da termodinâmica,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

onde dU é a variação na energia interna do sistema e δW é o trabalho realizado pelo sistema. Qualquer trabalho (δW) realizado deve ser feito às custas da energia interna U, uma vez que nenhum calor δQ está sendo fornecido do ambiente. O trabalho pressão-volume δW realizado pelo sistema é definido como

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

No entanto, P não permanece constante durante um processo adiabático, mas muda junto com V.

Deseja-se saber como os valores de dP e dV se relacionam à medida que o processo adiabático prossegue. Para um gás ideal (recorde a lei do gás ideal PV = nRT), a energia interna é dada por

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

onde α é o número de graus de liberdade dividido por dois, R é a constante universal de gás en é o número de moles no sistema (uma constante).

A equação de diferenciação (3) resulta em

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

A equação (4) é frequentemente expressa como dU = nCV dT porque CV = αR.

Agora substitua as equações (2) e (4) na equação (1) para obter

– P d V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

fatorar −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

e divida ambos os lados por PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Depois de integrar os lados esquerdo e direito de V0 a V e de P0 a P e mudando os lados respectivamente,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Exponencialmente ambos os lados, substitua α + 1 / α por γ, a relação da capacidade térmica

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

e elimine o sinal negativo para obter

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Portanto,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

e

P 0 V 0 γ = PV γ = constante. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivação da relação P – T para aquecimento adiabático e edição de resfriamento

Substituindo a lei dos gases ideais acima, obtemos

P (n RTP) γ = constante, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constant},}

que simplifica para

P 1 – γ T γ = constante. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Derivação da fórmula discreta e trabalho expressionEdit

A mudança na energia interna de um sistema , medido do estado 1 ao estado 2, é igual a

(1) ΔU = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Ao mesmo tempo, o trabalho realizado pelas mudanças de pressão-volume como resultado deste processo, é igual a

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Visto que exigimos que o processo seja adiabático, a seguinte equação precisa ser verdadeira

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Pelo anterior derivação,

(4) PV γ = constante = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Reorganizando (4 ) dá

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Substituir isso em (2) dá

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrando obtemos a expressão para o trabalho,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Substituindo γ = α + 1 / α no segundo termo,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Reorganizando,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Usando a lei dos gases ideais e assumindo uma quantidade molar constante (como costuma acontecer em casos práticos),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Pela fórmula contínua,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

ou

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Substituindo W na expressão anterior,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ direita).}

Substituindo esta expressão e (1) em (3) dá

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right).}

Simplificando,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }