P versus NPEdit
A questão é se, para todos os problemas para os quais um O algoritmo pode verificar uma determinada solução rapidamente (ou seja, em tempo polinomial), um algoritmo também pode encontrar essa solução rapidamente. Uma vez que o primeiro descreve a classe de problemas denominada NP, enquanto o último descreve P, a pergunta é equivalente a perguntar se todos os problemas em NP também estão em P. Esta é geralmente considerada uma das questões abertas mais importantes em matemática e ciência da computação teórica já que tem consequências de longo alcance para outros problemas em matemática, e para biologia, filosofia e criptografia (ver consequências à prova de problemas P versus NP). Um exemplo comum de um problema NP que não se sabe estar em P é o problema de satisfatibilidade booleana.
A maioria dos matemáticos e cientistas da computação espera que P ≠ NP; no entanto, permanece sem comprovação.
A declaração oficial do problema foi dada por Stephen Cook.
Hodge conjectureEdit
A conjectura de Hodge é que, para variedades algébricas projetivas, os ciclos de Hodge são combinações lineares racionais de ciclos algébricos.
A declaração oficial do problema foi dada por Pierre Deligne.
Riemann hipóteseEdit
A hipótese de Riemann é que todos os zeros não triviais da continuação analítica da função zeta de Riemann têm uma parte real de 1/2. Uma prova ou refutação disso teria implicações de longo alcance na teoria dos números, especialmente para a distribuição de números primos. Este foi o oitavo problema de Hilbert, e ainda é considerado um importante problema aberto um século depois.
A declaração oficial do problema foi dada por Enrico Bombieri.
Existência de Yang-Mills e gapEdit de massa
Na física, a teoria clássica de Yang-Mills é uma generalização da teoria de Maxwell do eletromagnetismo, onde o campo cromo-eletromagnético em si carrega carga. Como uma teoria de campo clássica, ela tem soluções que viajam à velocidade da luz, de modo que sua versão quântica deve descrever partículas sem massa (glúons). No entanto, o fenômeno postulado de confinamento de cor permite apenas estados vinculados de glúons, formando partículas massivas . Esta é a lacuna de massa. Outro aspecto do confinamento é a liberdade assintótica que torna concebível que a teoria quântica de Yang-Mills exista sem restrição a escalas de baixa energia. O problema é estabelecer com rigor a existência da teoria quântica de Yang-Mills e uma lacuna de massa.
A declaração oficial do problema foi dada por Arthur Jaffe e Edward Witten.
Navier – Stokes existência e smoothnessEdit
As equações de Navier – Stokes descrevem o movimento dos fluidos e são um dos pilares da mecânica dos fluidos. No entanto, a compreensão teórica de suas soluções é incompleta. Em particular, as soluções das equações de Navier-Stokes costumam incluir turbulência, a solução geral para a qual continua sendo um dos maiores problemas não resolvidos da física, apesar de sua imensa importância na ciência e na engenharia.
Mesmo as propriedades básicas do soluções para Navier-Stokes nunca foram comprovadas. Para o sistema tridimensional de equações, e dadas algumas condições iniciais, os matemáticos ainda não provaram que soluções suaves sempre existem para todo o tempo. Isso é chamado de problema de existência e suavidade de Navier-Stokes.
O problema é progredir em uma teoria matemática que dará uma visão sobre essas equações, provando que existem soluções suaves e definidas globalmente que atendem a certos condições, ou que nem sempre existem e as equações não funcionam.
A declaração oficial do problema foi dada por Charles Fefferman.
Birch e Swinnerton-Dyer conjectureEdit
A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer lida com certos tipos de equações: aquelas que definem curvas elípticas sobre os números racionais. A conjectura é que existe uma maneira simples de dizer se essas equações têm um número finito ou infinito de soluções racionais. O décimo problema de Hilbert lidava com um tipo mais geral de equação e, nesse caso, foi provado que não há como decidir se uma dada equação possui soluções.
A declaração oficial do problema foi dado por Andrew Wiles.