Energia cinética de corpos rígidos
Na mecânica clássica, a energia cinética de um objeto pontual (um objeto tão pequeno que se pode presumir que sua massa existe em um ponto), ou um corpo rígido não giratório depende da massa do corpo, bem como de sua velocidade. A energia cinética é igual a 1/2 do produto da massa pelo quadrado da velocidade. Na forma de fórmula:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
onde m {\ displaystyle m} é a massa ev {\ displaystyle v} é a velocidade (ou velocidade) do corpo. Em unidades SI, a massa é medida em quilogramas, a velocidade em metros por segundo e a energia cinética resultante está em joules.
Por exemplo, seria possível calcular a energia cinética de uma massa de 80 kg (cerca de 180 lbs ) viajando a 18 metros por segundo (cerca de 40 mph, ou 65 km / h) como
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12.960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Quando uma pessoa arremessa uma bola, ela trabalha para dar velocidade a ela deixa a mão. A bola em movimento pode então atingir algo e empurrá-lo, trabalhando no que atinge. A energia cinética de um objeto em movimento é igual ao trabalho necessário para trazê-lo do repouso a essa velocidade, ou o trabalho que o objeto pode fazer enquanto é colocado em repouso: força líquida × deslocamento = energia cinética, ou seja,
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Visto que a energia cinética aumenta com o quadrado da velocidade, um objeto que duplica sua velocidade tem quatro vezes tanta energia cinética. Por exemplo, um carro viajando duas vezes mais rápido que outro requer quatro vezes mais distância para parar, assumindo uma força de frenagem constante. Como conseqüência dessa quadruplicação, leva quatro vezes mais trabalho para dobrar a velocidade.
A energia cinética de um objeto está relacionada ao seu momento pela equação:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
onde:
p {\ displaystyle p \;} é momentum m {\ displaystyle m \;} é a massa do corpo
Para a energia cinética translacional, que é a energia cinética associada ao movimento retilíneo, de um corpo rígido com massa constante m {\ displaystyle m \;}, cujo centro de massa é movendo-se em linha reta com velocidade v {\ displaystyle v \;}, como visto acima é igual a
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
onde:
m {\ displaystyle m \;} é a massa do corpo v {\ displaystyle v \;} é a velocidade do centro de massa do corpo.
A energia cinética de qualquer entidade depende do referencial em que é medida. No entanto, a energia total de um sistema isolado, ou seja, aquele em que a energia não pode entrar nem sair, não muda ao longo do tempo no referencial em que é medida. Assim, a energia química convertida em energia cinética por um motor de foguete é dividida diferentemente entre o foguete e seu fluxo de exaustão, dependendo do referencial escolhido. Isso é chamado de efeito Oberth. Mas a energia total do sistema, incluindo energia cinética, energia química do combustível, calor, etc., é conservada ao longo do tempo, independentemente da escolha do referencial. Observadores diferentes movendo-se com referenciais diferentes, entretanto, discordariam sobre o valor dessa energia conservada.
A energia cinética de tais sistemas depende da escolha do referencial: o referencial que fornece o valor mínimo dessa energia. é o referencial do centro do momentum, ou seja, o referencial no qual o momentum total do sistema é zero. Esta energia cinética mínima contribui para a massa invariante do sistema como um todo.
Derivação
O trabalho realizado na aceleração de uma partícula com massa m durante o intervalo de tempo infinitesimal dt é dado por o produto escalar da força F e o deslocamento infinitesimal dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
onde assumimos a relação p = mv e a validade da Segunda Lei de Newton. ( No entanto, veja também a derivação relativística especial abaixo.)
Aplicando a regra do produto, vemos que:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Portanto, (assumindo os contras tant massa de modo que dm = 0), temos,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Como se trata de um diferencial total (ou seja, depende apenas do estado final, não de como a partícula chegou lá), podemos integrá-lo e chamar o resultado de energia cinética. Supondo que o objeto estava em repouso no tempo 0, integramos do tempo 0 ao tempo t porque o trabalho realizado pela força para trazer o objeto do repouso à velocidade v é igual ao trabalho necessário para fazer o inverso: k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Esta equação afirma que a energia cinética (Ek) é igual à integral do produto escalar da velocidade (v) de um corpo e a mudança infinitesimal do corpo ” s momentum (p). Supõe-se que o corpo começa sem energia cinética quando está em repouso (imóvel).
Corpos em rotação
Se um corpo rígido Q estiver girando qualquer linha através do centro de massa tem energia cinética rotacional (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) que é simplesmente a soma das energias cinéticas de suas partes móveis, e é, portanto, dada por :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ texto {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
onde:
(Nesta equação, o momento de inércia deve ser medido em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e a rotação medida por ω deve estar em torno desse eixo; existem equações mais gerais para sistemas onde o objeto está sujeito a oscilação devido à sua forma excêntrica).
Energia cinética dos sistemas
Um sistema de corpos pode ter energia cinética interna devido ao movimento relativo dos corpos no sistema. Por exemplo, no Sistema Solar, os planetas e planetoides orbitam o sol. Em um tanque de gás, as moléculas se movem em todas as direções. A energia cinética do sistema é a soma das energias cinéticas dos corpos que ele contém.
Um corpo macroscópico que é estacionário (ou seja, um referencial foi escolhido para corresponder ao centro de impulso do corpo ) podem ter vários tipos de energia interna no nível molecular ou atômico, que pode ser considerada como energia cinética, devido à translação molecular, rotação e vibração, translação e spin de elétrons e spin nuclear. Tudo isso contribui para o corpo massa, conforme fornecido pela teoria da relatividade especial. Ao discutir os movimentos de um corpo macroscópico, a energia cinética referida é geralmente a do movimento macroscópico apenas. No entanto, todas as energias internas de todos os tipos contribuem para a massa corporal, inércia e energia total.
Dinâmica dos fluidos
Na dinâmica dos fluidos, a energia cinética por unidade de volume em cada ponto em um campo de fluxo de fluido incompressível é chamado de pressão dinâmica nesse ponto.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Dividindo por V, a unidade de volume:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {align}}}
onde q {\ displaystyle q} é a pressão dinâmica e ρ é a densidade do fluido incompressível.
Quadro de referência
A velocidade e, portanto, a energia cinética de um único objeto é dependente do quadro (relativa ): pode assumir qualquer valor não negativo, escolhendo um referencial inercial adequado. Por exemplo, uma bala que passa por um observador tem energia cinética no fogo referencial deste observador. A mesma bala é estacionária para um observador que se move com a mesma velocidade da bala e, portanto, tem energia cinética zero. Em contraste, a energia cinética total de um sistema de objetos não pode ser reduzida a zero por uma escolha adequada do referencial inercial, a menos que todos os objetos tenham a mesma velocidade. Em qualquer outro caso, a energia cinética total tem um mínimo diferente de zero, uma vez que nenhum referencial inercial pode ser escolhido no qual todos os objetos estão estacionários. Esta energia cinética mínima contribui para a massa invariante do sistema, que é independente do referencial.
A energia cinética total de um sistema depende do referencial inercial: é a soma do total energia cinética em uma estrutura de centro de momento e a energia cinética que a massa total teria se estivesse concentrada no centro de massa.
Isso pode ser simplesmente mostrado: deixe V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} é a velocidade relativa do centro de massa, referencial i no referencial k.Uma vez que
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Então,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Assim, a energia cinética de um sistema é a mais baixa do centro de referência de momento referenciais, isto é, referenciais nos quais o centro de massa é estacionário (o referencial do centro de massa ou qualquer outro referencial do centro de momento). Em qualquer referencial diferente, há energia cinética adicional correspondente à massa total movendo-se à velocidade do centro de massa. A energia cinética do sistema no centro do referencial do momento é uma quantidade invariante (todos os observadores a vêem como igual).
Rotação nos sistemas
Às vezes é conveniente para dividir a energia cinética total de um corpo na soma da energia cinética translacional do centro de massa do corpo e a energia de rotação em torno do centro de massa (energia rotacional):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
onde:
Ek é a energia cinética total Et é a energia cinética translacional Er é a energia rotacional ou energia cinética angular no quadro de repouso
Assim, a energia cinética de uma bola de tênis em voo é a energia cinética devida à sua rotação, mais a energia cinética devida à sua translação.