PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
A caracterização de Feller da distribuição de Poisson composta afirma que uma va X de valor inteiro não negativo {\ displaystyle X} é infinitamente divisível se e somente se sua distribuição for uma distribuição de Poisson composta discreta. Pode ser mostrado que a distribuição binomial negativa é discreto infinitamente divisível, ou seja, se X tem uma distribuição binomial negativa, então para qualquer número inteiro positivo n, existem variáveis aleatórias discretas iid X1, …, Xn cuja soma tem a mesma distribuição que X tem. distribuição de Poisson composta si uma vez que é um caso trivial de distribuição binomial negativa.
Essa distribuição pode modelar chegadas em lote (como em uma fila em massa). A distribuição discreta de Poisson composta também é amplamente usada em ciência atuarial para modelar a distribuição do valor total do sinistro.
Quando alguns α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} são não negativos, é a distribuição discreta de Poisson pseudo composta. Definimos que qualquer variável aleatória discreta Y {\ displaystyle Y} que satisfaz a caracterização da função geradora de probabilidade
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}