Quando aplicada a um polígono, uma diagonal é um segmento de linha que une quaisquer dois vértices não consecutivos. Portanto, um quadrilátero tem duas diagonais, unindo pares opostos de vértices. Para qualquer polígono convexo, todas as diagonais estão dentro do polígono, mas para polígonos reentrantes, algumas diagonais estão fora do polígono.
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Lados | Diagonais | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Regiões formadas por diagonalsEdit
Em um polígono convexo , se não houver três diagonais concorrentes em um único ponto no interior, o número de regiões em que as diagonais dividem o interior é dado por
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
Para n-gons com n = 3, 4, … o número de regiões é
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
Esta é a sequência OEIS A006522.
Intersecções de diagonalsEdit
Se não houver três diagonais de um polígono convexo concorrentes em um ponto no interior, o número de interior as interseções das diagonais são dadas por (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Isso vale, por exemplo, para qualquer polígono regular com um número ímpar de lados. A fórmula segue do fato de que cada interseção é determinada exclusivamente pelos quatro pontos finais das duas diagonais que se cruzam: o número de interseções é, portanto, o número de combinações dos n vértices quatro de cada vez.
Polígonos regulares Editar
Um triângulo não tem diagonais.
Um hexágono regular tem nove diagonais: as seis menores são iguais em comprimento; os três mais longos são iguais em comprimento e se cruzam no centro do hexágono. A proporção de uma diagonal longa para um lado é 2, e a proporção de uma diagonal curta para um lado é 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
Um heptágono regular tem 14 diagonais. Os sete mais curtos são iguais e os sete mais longos são iguais. O recíproco do lado é igual à soma dos recíprocos de uma diagonal curta e uma diagonal longa.
Em qualquer n-gon regular com n par, todas as diagonais longas se cruzam no centro do polígono.