Definição básicaEditar
A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Em outras palavras, todo valor de y define uma função, denotado por fy , que é uma função de uma variável x. Ou seja,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Nesta seção, a notação subscrito fy denota uma função contingente em um valor fixo de y, e não um derivada parcial.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
Nesta expressão, a é uma constante, não uma variável, então fa é uma função de apenas um variável real, sendo x. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável se aplica:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} “(x) = 2x + a.}
O procedimento acima pode ser realizado para qualquer escolha de a. A montagem das derivadas em uma função fornece uma função que descreve a variação de f no direção x:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} (x, y) = 2x + y.}
Esta é a derivada parcial de f em relação a x. Aqui ∂ é um d arredondado chamado símbolo de derivada parcial. Para distingui-lo da letra d, ∂ às vezes é pronunciado como “parcial”.
Em geral, a derivada parcial de uma função n-ária f (x1, …, xn) na direção xi no ponto (a1, …, an) é definida como:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
No quociente de diferença acima, todas as variáveis, exceto x eu sou mantido fixo. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
e por definição,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Em outras palavras, as diferentes escolhas de um índice uma família de funções de uma variável exatamente como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais se reduz ao cálculo das derivadas de uma variável.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ direita).}
Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função de valor vetorial ∇f que leva o ponto a ao vetor ∇f (a). Conseqüentemente, o gradiente produz um campo vetorial.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Definição formalEditar
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1, …, ai – 1, ai + h, ai + 1, …, an) – f (a 1, …, ai, …, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {alinhado}} }
Mesmo que todas as derivadas parciais ∂f / ∂xi (a) existam em um determinado ponto a, o função não precisa ser contínua lá. Entretanto, se todas as derivadas parciais existem em uma vizinhança de a e são contínuas ali, então f é totalmente diferenciável naquela vizinhança e a derivada total é contínua. Nesse caso, diz-se que f é uma função C1. Isso pode ser usado para generalizar para funções com valor vetorial, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} usando cuidadosamente um argumento componente a componente.
A derivada parcial ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} pode ser vista como outra função definida em U e pode ser novamente parcialmente diferenciada. Se todas as derivadas parciais de segunda ordem misturadas são contínuas em um ponto (ou em um conjunto), f é denominado uma função C2 naquele ponto (ou naquele conjunto); neste caso, as derivadas parciais podem ser trocadas pelo teorema de Clairaut:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} \ parcial x_ {j}}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {i}}}.}