O apothem a pode ser usado para encontrar a área de qualquer polígono regular de n lados de comprimento lateral s de acordo com a seguinte fórmula, que também afirma que a área é igual ao apothem multiplicado pela metade do perímetro, pois ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Esta fórmula pode ser derivada particionando o polígono de n lados em n triângulos isósceles congruentes, e em seguida, notando que o apótema é a altura de cada triângulo e que a área de um triângulo é igual a metade da base vezes a altura. As seguintes formulações são todas equivalentes:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 cot (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Um apótema de um polígono regular sempre será um raio do círculo inscrito. É também a distância mínima entre qualquer lado do polígono e seu centro.
Esta propriedade também pode ser usada para derivar facilmente a fórmula para a área de um círculo, porque conforme o número de lados se aproxima do infinito, a área do polígono regular se aproxima da área do círculo inscrito de raio r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}