Proceso adiabático

La ecuación matemática para un gas ideal que experimenta un reversible (es decir, no generación de entropía) proceso adiabático puede ser representado por la ecuación del proceso politrópico

PV γ = constante, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constante}},}

donde P es presión, V es el volumen, y para este caso n = γ, donde

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP es el calor específico para presión constante, CV es el calor específico para volumen constante, γ es el índice adiabático y f es el número de grados de libertad (3 para gas monoatómico, 5 para gas diatómico y moléculas colineales, por ejemplo, dióxido de carbono).

Para un gas ideal monoatómico, γ = 5/3, y para un gas diatómico (como nitrógeno y oxígeno, los componentes principales del aire), γ = 7/5. Tenga en cuenta que la fórmula anterior solo es aplicable a los gases ideales clásicos y no a los gases de Bose-Einstein o Fermi.

Para procesos adiabáticos reversibles, también es cierto que

P 1 – γ T γ = constante , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constante}},} VT f 2 = constante, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constante}},}

donde T es una temperatura absoluta. Esto también se puede escribir como

T V γ – 1 = constante. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constante}}.}

Ejemplo de compresión adiabáticaEditar

La carrera de compresión en un motor de gasolina se puede utilizar como ejemplo de compresión adiabática compresión. Los supuestos del modelo son: el volumen sin comprimir del cilindro es de un litro (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); el gas dentro es el aire que consta de nitrógeno molecular y oxígeno solamente (por lo tanto, un gas diatómico con 5 grados de libertad, por lo que γ = 7/5); la relación de compresión del motor es 10: 1 (es decir, el pistón reduce el volumen de 1 L de gas sin comprimir a 0,1 L); y el gas sin comprimir está aproximadamente a temperatura y presión ambiente (una temperatura ambiente cálida de ~ 27 ° C, o 300 K, y una presión de 1 bar = 100 kPa, es decir, la presión atmosférica típica al nivel del mar).

P 1 V γ = constante 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constante} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6.31 \ times 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

por lo que nuestra constante adiabática para este ejemplo es aproximadamente 6,31 Pa m4,2.

El gas ahora se comprime a un volumen de 0.1 L (0.0001 m3) (asumiremos que esto sucede lo suficientemente rápido como para que no pueda entrar ni salir calor del gas a través de las paredes). La constante adiabática permanece igual, pero con la presión resultante desconocida

P 2 V γ = constante 1 = 6.31 Pa m 21/5 = P × (0.0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constante} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

así que despejando P2:

P 2 = 6.31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2.5 \ times 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

o 25,1 compases. Tenga en cuenta que este aumento de presión es más de lo que indicaría una simple relación de compresión de 10: 1; esto se debe a que el gas no solo se comprime, sino que el trabajo realizado para comprimir el gas también aumenta su energía interna, que se manifiesta por un aumento en la temperatura del gas y un aumento adicional de la presión por encima de lo que resultaría de un cálculo simplista de veces la presión original.

También podemos resolver la temperatura del gas comprimido en el cilindro del motor, usando la ley del gas ideal, PV = nRT (n es la cantidad de gas en moles y R el gas constante para ese gas). Nuestras condiciones iniciales son 100 kPa de presión, 1 L de volumen y 300 K de temperatura, nuestra constante experimental (nR) es:

PVT = constante 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3300 K = 0.333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constante} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Sabemos que el gas comprimido tiene V = 0.1 L y P = 2.51 × 106 Pa, por lo que podemos resolver la temperatura:

T = PV constante 2 = 2.51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0.333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ Displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constante} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Esa es una temperatura final de 753 K, o 479 ° C, o 896 ° F, muy por encima del punto de ignición de muchos combustibles. Esta es la razón por la que un motor de alta compresión requiere combustibles especialmente formulados para que no se enciendan automáticamente (lo que causaría detonaciones en el motor cuando se opera en estas condiciones de temperatura y presión), o que un supercargador con intercooler proporcione un aumento de presión pero con el aumento de temperatura sería ventajoso. Un motor diesel opera bajo condiciones aún más extremas, siendo típicas relaciones de compresión de 16: 1 o más, para proporcionar una temperatura de gas muy alta, lo que asegura la ignición inmediata del combustible inyectado.

Libre de adiabáticos expansión de un gasEditar

Para una expansión libre adiabática de un gas ideal, el gas se contiene en un recipiente aislado y luego se deja expandir al vacío. Debido a que no hay presión externa contra la cual el gas se expanda, el trabajo realizado por o sobre el sistema es cero. Dado que este proceso no implica transferencia de calor ni trabajo, la primera ley de la termodinámica implica que el cambio de energía interna neta del sistema es cero. Para un gas ideal, la temperatura permanece constante porque la energía interna solo depende de la temperatura en ese caso. Dado que a temperatura constante, la entropía es proporcional al volumen, la entropía aumenta en este caso, por lo que este proceso es irreversible.

Derivación de la relación P – V para calentamiento y enfriamiento adiabáticosEditar

La definición de un proceso adiabático es que la transferencia de calor al sistema es cero, δQ = 0. Entonces, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

donde dU es el cambio en la energía interna del sistema y δW es el trabajo realizado por el sistema. Cualquier trabajo (δW) realizado debe realizarse a expensas de la energía interna U, ya que no se suministra calor δQ desde el entorno. El trabajo de presión-volumen δW realizado por el sistema se define como

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

Sin embargo, P no permanece constante durante un proceso adiabático, sino que cambia junto con V.

Se desea saber cómo se relacionan los valores de dP y dV entre sí a medida que avanza el proceso adiabático. Para un gas ideal (recuerde la ley de los gases ideales PV = nRT), la energía interna viene dada por

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

donde α es el número de grados de libertad dividido por dos, R es la constante universal de los gases y n es el número de moles en el sistema (una constante).

La ecuación de diferenciación (3) produce

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ Displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

La ecuación (4) a menudo se expresa como dU = nCV dT porque CV = αR.

Ahora sustituya las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (1) para obtener

– P d V = α P d V + α V d P, {\ Displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

factorizar −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

y divide ambos lados por PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Después de integrar los lados izquierdo y derecho de V0 a V y de P0 a P y cambiando los lados respectivamente,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ Displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Exponenciar ambos lados, sustituir α + 1 / α con γ, la relación de capacidad calorífica

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ Displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

y elimine el signo negativo para obtener

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ Displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Por lo tanto,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

y

P 0 V 0 γ = PV γ = constante. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constante}.}

Derivación de la relación P – T para calentamiento y enfriamiento adiabáticosEditar

Sustituyendo la ley de los gases ideales en la anterior, obtenemos

P (n RTP) γ = constante, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constante},}

que se simplifica a

P 1 – γ T γ = constante. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constante}.}

Derivación de fórmula discreta y expresión de trabajoEditar

El cambio de energía interna de un sistema , medido del estado 1 al estado 2, es igual a

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ Displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Al mismo tiempo, el trabajo realizado por los cambios de presión-volumen como resultado de este proceso, es igual a

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Dado que requerimos que el proceso sea adiabático, la siguiente ecuación debe ser cierta

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Por el anterior derivación,

(4) PV γ = constante = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constante}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Reorganización (4 ) da

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Sustituir esto en (2) da

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ Displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrando obtenemos la expresión para el trabajo,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ Displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Sustituyendo γ = α + 1 / α en el segundo término,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ Displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Reordenando,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ Displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Usando la ley de los gases ideales y asumiendo una cantidad molar constante (como sucede a menudo en casos prácticos),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ Displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Según la fórmula continua,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

o

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ Displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Sustituyendo en la expresión anterior para W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ Displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ right).}

Sustituyendo esta expresión y (1) en (3) se obtiene

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ Displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right).}

Simplificando,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ Displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ Displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }