P versus NPEdit
La pregunta es si, para todos los problemas para los que un El algoritmo puede verificar una solución dada rápidamente (es decir, en tiempo polinomial), un algoritmo también puede encontrar esa solución rápidamente. Dado que el primero describe la clase de problemas denominada NP, mientras que el segundo describe P, la pregunta equivale a preguntar si todos los problemas en NP también están en P. Esta generalmente se considera una de las preguntas abiertas más importantes en matemáticas e informática teórica. ya que tiene consecuencias de gran alcance para otros problemas en matemáticas, y para la biología, la filosofía y la criptografía (ver consecuencias de prueba de problemas P versus NP). Un ejemplo común de un problema NP que no se sabe que está en P es el problema de satisfacibilidad booleano.
La mayoría de los matemáticos e informáticos esperan que P ≠ NP; sin embargo, sigue sin probarse.
La declaración oficial del problema fue dada por Stephen Cook.
Hodge conjectureEdit
La conjetura de Hodge es que para las variedades algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos.
La declaración oficial del problema fue dada por Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
La hipótesis de Riemann es que todos los ceros no triviales de la continuación analítica de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2. Una prueba o refutación de esto tendría implicaciones de gran alcance en la teoría de números, especialmente para la distribución de números primos. Este fue el octavo problema de Hilbert, y todavía se considera un problema abierto importante un siglo después.
La declaración oficial del problema fue dada por Enrico Bombieri.
Existencia de Yang – Mills y brecha de masaEdit
En física, la teoría clásica de Yang-Mills es una generalización de la teoría de Maxwell del electromagnetismo donde el campo cromo-electromagnético en sí mismo lleva carga.Como una teoría de campo clásica tiene soluciones que viajan a la velocidad de la luz, por lo que su versión cuántica debería describir partículas sin masa (gluones) .Sin embargo, el fenómeno postulado del confinamiento de color permite solo estados unidos de gluones, formando partículas masivas Esta es la brecha de masa. Otro aspecto del confinamiento es la libertad asintótica que hace concebible que la teoría cuántica de Yang-Mills exista sin restricción a escalas de baja energía. El problema es establecer rigurosamente la existencia de la teoría cuántica de Yang-Mills y una brecha masiva.
La declaración oficial del problema fue dada por Arthur Jaffe y Edward Witten.
Existencia y suavidad de Navier-StokesEditar
Las ecuaciones de Navier – Stokes describen el movimiento de los fluidos y son uno de los pilares de la mecánica de fluidos. Sin embargo, la comprensión teórica de sus soluciones es incompleta. En particular, las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes a menudo incluyen turbulencias, cuya solución general sigue siendo uno de los mayores problemas sin resolver en física, a pesar de su inmensa importancia en ciencia e ingeniería.
Incluso propiedades básicas de la las soluciones de Navier – Stokes nunca se han probado. Para el sistema de ecuaciones tridimensionales, y dadas algunas condiciones iniciales, los matemáticos aún no han demostrado que las soluciones suaves siempre existan para siempre. Esto se conoce como el problema de existencia y uniformidad de Navier-Stokes.
El problema es avanzar hacia una teoría matemática que dé una idea de estas ecuaciones, demostrando que existen soluciones suaves y definidas globalmente que cumplen con ciertos condiciones, o que no siempre existen y las ecuaciones se rompen.
La declaración oficial del problema fue dada por Charles Fefferman.
Conjetura de Birch y Swinnerton-DyerEditar
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata de ciertos tipos de ecuaciones: las que definen curvas elípticas sobre los números racionales. La conjetura es que hay una forma sencilla de saber si tales ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. El décimo problema de Hilbert trataba con un tipo de ecuación más general, y en ese caso se demostró que no hay forma de decidir si una ecuación dada tiene siquiera alguna solución.
La declaración oficial del problema fue proporcionado por Andrew Wiles.