23 osoby. W pokoju liczącym zaledwie 23 osoby istnieje 50–50 szans, że co najmniej dwie osoby będą obchodzić urodziny tego samego dnia. W pokoju 75-osobowym istnieje 99,9% szans, że co najmniej dwie osoby będą pasować.
Odłóż kalkulator i widły, nie mówię herezji. Paradoks urodzin jest dziwny, sprzeczny z intuicją i całkowicie prawdziwy. To tylko „paradoks”, ponieważ nasze mózgi nie radzą sobie ze składającą się potęgą wykładników. Oczekujemy, że prawdopodobieństwa będą liniowe i uwzględniamy tylko scenariusze, w które jesteśmy zaangażowani (nawiasem mówiąc, oba błędne założenia).
Zobaczmy, dlaczego pojawia się paradoks i jak działa.
Problem 1: potęgi nie są intuicyjne
Nauczyliśmy się matematyki i statystyki, ale nie oszukujmy się: to nie jest naturalne.
Oto przykład: Jaka jest szansa na zdobycie 10 orłów z rzędu podczas rzucania monetami? Niewytrenowany mózg może pomyśleć w ten sposób:
„Cóż, zdobycie jednej głowy to 50% szansy. Zdobycie dwóch głów jest dwa razy trudniejsze, więc szansa wynosi 25%. Zdobycie dziesięciu głów jest prawdopodobnie 10 razy trudniejsze… więc około 50% / 10 lub 5% szans. ”
I oto siedzimy, zadowoleni jak robak na dywanie. Żadnych kości.
Ale nawet po treningu znów dajemy się złapać. Przy oprocentowaniu 5% podwoimy nasze pieniądze w ciągu 14 lat, a nie w „oczekiwanym” 20. Czy w naturalny sposób wnioskowałeś o Regułę 72, dowiadując się o stopach procentowych? Prawdopodobnie nie.
Problem 2: Ludzie są trochę samolubni
Spójrz na wiadomości. Zwróć uwagę, ile negatywnych wiadomości jest wynikiem działania bez uwzględnienia innych. Jestem optymista i masz nadzieję dla ludzkości, ale to osobna dyskusja :).
Czy myślisz o 22 porównaniach, w których twoje urodziny są porównywane z drugimi? p>
Czy myślisz o 231 porównaniach, w których ktoś inny niż Ty jest sprawdzany z kimś innym niż Ty? Czy zdajesz sobie sprawę, że jest ich tak wielu? Prawdopodobnie nie.
Fakt, że pomijamy 10 razy więcej porównań, które nas nie uwzględniają, pomaga nam zrozumieć, dlaczego może się zdarzyć „paradoks”.
Ok, w porządku, ludzie są okropni: pokaż mi matematykę!
Q uestion: Jakie są szanse, że dwie osoby będą obchodzić urodziny w grupie 23 osób?
Oczywiście, moglibyśmy wymienić pary i policzyć wszystkie możliwe do dopasowania. Ale to trudne: może być 1, 2, 3 lub nawet 23 mecze!
To jak pytanie „Jaka jest szansa na zdobycie jednego lub więcej orłów w 23 rzutach monetą?” Możliwości jest tak wiele: orzeł przy pierwszym rzucie, 3. lub ostatnim, albo 1. i 3., 2. i 21. itd.
Jak rozwiązać problem z monetą? Odwróć to (Rozumiesz? Rozumiesz?). Zamiast liczyć wszystkie sposoby, aby zdobyć orła, znajdź szansę na zdobycie wszystkich ogonów, nasz „scenariusz problemowy”.
Jeśli istnieje 1% szans na uzyskanie wszystkie ogony (bardziej jak .5 ^ 23, ale pracuj ze mną tutaj), istnieje 99% szans na posiadanie co najmniej jednej głowy. Nie wiem, czy to 1 głowa, czy 2, czy 15 czy 23: mamy głowy i to się liczy. Jeśli od 1 odejmiemy prawdopodobieństwo wystąpienia scenariusza problemu, otrzymamy prawdopodobieństwo dobrego scenariusza.
Ta sama zasada dotyczy urodzin. Zamiast znajdować wszystkie sposoby dopasowania, znajdź szansę, że każdy jest inny, „scenariusz problemu”. Następnie bierzemy przeciwne prawdopodobieństwo i otrzymujemy szansę na dopasowanie. Może to być 1 dopasowanie, 2 lub 20, ale ktoś dopasowany, czyli to, co musimy znaleźć.
Wyjaśnienie: Liczenie par (przybliżony wzór)
Przy 23 osobach mamy 253 par:
(Odśwież kombinacje i permutacje, jeśli chcesz).
Prawdopodobieństwo, że dwie osoby mają różne urodziny, to:
To ma sens, prawda? Porównując urodziny jednej osoby z inną, w 364 z 365 scenariuszy nie udało się jej dopasować. Dobra .
Ale zrobienie 253 porównań i sprawienie, że wszystkie będą różne, to jak zdobycie orłów 253 razy z rzędu – za każdym razem trzeba było unikać „ogonów”. Znajdźmy przybliżone rozwiązanie, udając urodzinowe porównania są jak rzut monetą. (Zobacz Dodatek A w celu uzyskania dokładnych obliczeń.)
Do obliczenia prawdopodobieństwa używamy wykładników:
Nasza szansa na pojedynczą chybienie jest dość wysoka (99,7260%), ale kiedy wykorzystasz tę szansę setki razy, szanse na utrzymanie tej passy spadają. Szybko.
Szansa na znalezienie dopasowania wynosi: 1 – 49,95% = 50,05%, czyli nieco ponad połowa! Jeśli chcesz znaleźć prawdopodobieństwo dopasowania dowolnej liczby osób n, wzór jest następujący:
Interaktywny przykład
Nie sądziłem, że potrzebujemy tylko 23 osób. Matematyka działa, ale czy jest prawdziwa?
Pewnie.Wypróbuj poniższy przykład: Wybierz liczbę elementów (365), liczbę osób (23) i przeprowadź kilka prób. Podczas przeprowadzania prób zobaczysz dopasowanie teoretyczne i rzeczywiste. Śmiało, kliknij przycisk (lub zobacz całą stronę).
Gdy wykonujesz coraz więcej prób (klikaj!), Rzeczywiste prawdopodobieństwo powinno zbliżyć się do teoretycznego.
Przykłady i dania na wynos
Oto kilka lekcji z paradoksu urodzinowego:
- $ \ sqrt {n} $ to mniej więcej liczba, której potrzebujesz, aby mieć 50% szans na dopasuj z n elementami. $ \ sqrt {365} $ to około 20. Ma to znaczenie w kryptografii podczas ataku urodzinowego.
- Mimo że istnieje 2128 (1e38) identyfikatorów GUID, mamy tylko 264 (1e19) do wykorzystania przed 50% szans na zderzenie. A 50% to naprawdę, bardzo dużo.
- Wystarczy 13 osób wybierających litery alfabetu, aby mieć 95% szans na dopasowanie. Wypróbuj powyżej (ludzie = 13, przedmioty = 26).
- Wykładniczy wzrost gwałtownie zmniejsza szansę na wybranie unikalnych przedmiotów (inaczej zwiększa szanse na dopasowanie). Pamiętaj: wykładniki nie są intuicyjne, a ludzie są samolubni!
Po długim przemyśleniu, urodzinowy paradoks w końcu mnie zaskakuje. Ale nadal sprawdzam interaktywny przykład, aby się upewnić.
Dodatek A: Wyjaśnienie powtarzanego mnożenia (dokładny wzór)
Pamiętasz, jak założyliśmy, że urodziny są niezależne? Cóż, nie są.
Jeśli osoba A i osoba B pasują do siebie, a osoba B i C, wiemy, że A i C również muszą pasować. Wynik dopasowania A i C zależy od ich wyników z B, więc prawdopodobieństwa nie są niezależne. (Gdyby były naprawdę niezależne, A i C miałyby 1/365 szans na dopasowanie, ale wiemy, że jest to 100% gwarantowane dopasowanie).
Podczas liczenia par traktujemy mecze urodzinowe jak rzut monetą, mnożąc to samo prawdopodobieństwo w kółko. To założenie nie jest do końca prawdziwe, ale jest wystarczające dla niewielkiej liczby osób (23) w porównaniu z wielkością próby (365). Jest mało prawdopodobne, aby wiele osób pasowało do siebie i zepsuło niezależność, więc to dobre przybliżenie.
To mało prawdopodobne, ale może się zdarzyć. Obliczmy rzeczywiste szanse każdej osoby, która wybierze inną liczbę:
Mnożenie wygląda dość brzydko:
Ale jest skrót, który możemy obrać. Gdy x jest bliskie 0, zgrubne przybliżenie Taylora pierwszego rzędu dla $ e ^ x $ is:
so
Korzystając z naszego wygodnego skrótu, możemy przepisać duże równanie na:
Dodanie 1 do 22 to (22 * 23) / 2, więc otrzymujemy:
Uff. To przybliżenie jest bardzo bliskie, podłącz swoje własne liczby poniżej:
Wystarczająco dobre do pracy rządowej, jak mówią. Jeśli nieco uprościsz formułę i zamienisz n na 23, otrzymasz:
i
Dodatek B: Ogólny wzór urodzin
Uogólnijmy wzór na wybranie n osób z łącznej liczby T pozycji (zamiast 365) :
Jeśli wybierzemy prawdopodobieństwo (np. 50% szans na dopasowanie) i obliczymy n:
Voila! Jeśli weźmiesz $ \ sqrt {T} $ przedmiotów (17% więcej, jeśli chcesz być wybredny), masz około 50-50 szans na dopasowanie. Jeśli podłączysz inne liczby, możesz obliczyć inne prawdopodobieństwa:
Pamiętaj, że m to pożądana szansa na dopasowanie ( łatwo się pogubić, sam to zrobiłem). Jeśli chcesz mieć 90% szans na dopasowanie urodzin, podłącz m = 90% i T = 365 do równania i zobacz, że potrzebujesz 41 osób.
Wikipedia ma jeszcze więcej szczegółów, aby zadowolić Twojego wewnętrznego kujona. Idź dalej i ciesz się.
Inne posty z tej serii
- Krótkie wprowadzenie do prawdopodobieństwa & Statystyki
- Intuicyjne (i krótkie) wyjaśnienie twierdzenia Bayesa
- Zrozumienie twierdzenia Bayesa ze stosunkami
- Zrozumienie problemu Montyego Halla
- Jak analizować dane za pomocą Średnia
- Zrozumienie paradoksu urodzin