PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle P_ {Y} (z) = \ suma \ limity _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limity _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ Displaystyle X \ sim {\ tekst {DCP}} (\ lambda {\ alfa _ {1}}, \ lambda {\ alfa _ {r}}, \ ldots)}
Charakterystyka Fellera złożonego rozkładu Poissona stwierdza, że nieujemna liczba całkowita o wartości rv X {\ Displaystyle X} jest nieskończenie podzielna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozkład jest dyskretnym złożonym rozkładem Poissona. Można wykazać, że ujemny rozkład dwumianowy jest dyskretna nieskończenie podzielna, tj. jeśli X ma ujemny rozkład dwumianowy, to dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n istnieją dyskretne zmienne losowe iid X1, …, Xn, których suma ma taki sam rozkład jak X. Rozkład geometryczny przesunięcia jest dyskretny złożony rozkład Poissona si nce jest to trywialny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego.
Ta dystrybucja może modelować przychodzenia partii (na przykład w kolejce zbiorczej). Dyskretny złożony rozkład Poissona jest również szeroko stosowany w naukach aktuarialnych do modelowania rozkładu całkowitej kwoty roszczenia.
Gdy niektóre α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} są nieujemne, to jest dyskretny pseudozłożony rozkład Poissona. Definiujemy, że każda dyskretna zmienna losowa Y {\ Displaystyle Y} spełniająca charakterystyka funkcji generującej prawdopodobieństwo
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle G_ {Y} (z) = \ suma \ granice _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}