Po zastosowaniu do wielokąta przekątna to odcinek linii łączący dowolne dwa nieciągłe wierzchołki. Dlatego czworokąt ma dwie przekątne, łączące przeciwległe pary wierzchołków. W przypadku każdego wypukłego wielokąta wszystkie przekątne znajdują się wewnątrz wielokąta, ale w przypadku wieloboków wchodzących niektóre przekątne znajdują się na zewnątrz wielokąta.
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Boki | Przekątne | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Regiony utworzone przez diagonalsEdit
W wypukłym wielokącie jeśli żadne trzy przekątne nie są zbieżne w jednym punkcie wnętrza, liczba obszarów, na które przekątne dzielą wnętrze, jest wyrażona wzorem
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ Displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ Frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
Dla n-gonów z n = 3, 4, … liczba regionów wynosi
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
To jest sekwencja OEIS A006522.
Przecięcia przekątnychEdytuj
Jeśli żadne trzy przekątne wypukłego wielokąta nie są zbieżne w punkcie we wnętrzu, liczba wewnętrznych przecięcia przekątnych podaje (n 4) {\ Displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Dotyczy to na przykład dowolnego wielokąta regularnego o nieparzystej liczbie boków. Wzór wynika z faktu, że każde przecięcie jest jednoznacznie określone przez cztery punkty końcowe dwóch przecinających się przekątnych: liczba przecięć to zatem liczba kombinacji n wierzchołków cztery naraz.
Regularne wielokątyEdytuj
Trójkąt nie ma przekątnych.
Regularny sześciokąt ma dziewięć przekątnych: sześć krótszych ma taką samą długość; trzy dłuższe mają taką samą długość i przecinają się w środku sześciokąta. Stosunek długiej przekątnej do boku wynosi 2, a stosunek krótkiej przekątnej do boku wynosi 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
Zwykły siedmiokąt ma 14 przekątnych. Siedem krótszych równych sobie, a siedem dłuższych równych sobie. Odwrotność boku równa się sumie odwrotności krótkiej i długiej przekątnej.
W każdym regularnym n-gonie o parzystym n, wszystkie długie przekątne przecinają się w środku wielokąta.