Proces adiabatyczny

Równanie matematyczne dla gazu doskonałego podlegającego odwracalnemu (tj. generacja entropii) proces adiabatyczny można przedstawić równaniem politropowym procesu

PV γ = stała, {\ Displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ tekst {stała}},}

gdzie P to ciśnienie, V jest objętość, i dla tego przypadku n = γ, gdzie

γ = CPCV = f + 2 f, {\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP jest ciepłem właściwym dla stałego ciśnienia, CV jest ciepłem właściwym dla stałej objętości, γ jest indeksem adiabatycznym, if jest liczbą stopni swobody (3 dla gazu jednoatomowego, 5 dla gazu dwuatomowego i cząsteczek współliniowych, np. dwutlenku węgla).

Dla jednoatomowego gazu doskonałego γ = 5/3 i dla gazu dwuatomowego (takiego jak azot i tlen, główne składniki powietrza), γ = 7/5. Zauważ, że powyższy wzór ma zastosowanie tylko do klasycznych gazów doskonałych, a nie do gazów Bosego-Einsteina lub Fermiego.

W przypadku odwracalnych procesów adiabatycznych prawdą jest również, że

P 1 – γ T γ = stała , {\ Displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ tekst {stała}},} VT f 2 = stała, {\ Displaystyle VT ^ {\ Frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

gdzie T jest temperaturą bezwzględną. Można to również zapisać jako

T V γ – 1 = stała. {\ Displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ tekst {stała}}.}

Przykład kompresji adiabatycznejEdit

Skok sprężania w silniku benzynowym może służyć jako przykład adiabatycznej kompresja. Założenia modelu są następujące: nieskompresowana objętość butli to jeden litr (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); gaz w środku to powietrze składające się wyłącznie z azotu cząsteczkowego i tlenu (a więc gaz dwuatomowy o 5 stopniach swobody, a więc γ = 7/5); stopień sprężania silnika wynosi 10: 1 (to znaczy objętość 1 litra nieskompresowanego gazu jest redukowana do 0,1 litra przez tłok); a nieskompresowany gaz ma temperaturę i ciśnienie w przybliżeniu pokojowe (temperatura ciepłego pomieszczenia ~ 27 ° C lub 300 K i ciśnienie 1 bar = 100 kPa, tj. typowe ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza).

P 1 V γ = stała 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ Displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {stała} _ {1} = 100 \ 000 ~ {\ tekst {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ Displaystyle = 10 ^ {5} \ razy 6,31 \ razy 10 ^ {- 5} ~ {\ tekst {Pa}} \, {\ tekst {m.}} ^ {21/5} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

więc nasza stała adiabatyczna dla tego przykładu wynosi około 6,31 Pa m4,2.

Gaz jest teraz sprężany do objętości 0,1 l (0,0001 m3) (zakładamy, że dzieje się to na tyle szybko, że żadne ciepło nie może przedostać się ani opuścić gazu przez ściany). Stała adiabatyczna pozostaje taka sama, ale przy nieznanym ciśnieniu wynikowym

P 2 V γ = stała 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ Displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {stała} _ {1} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

więc rozwiązując P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ Displaystyle P_ {2} = {\ Frac {6,31 ~ {\ tekst {Pa}} \, {\ tekst { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ times 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

lub 25,1 bara. Należy zauważyć, że ten wzrost ciśnienia jest większy niż wskazywałby na to zwykły współczynnik kompresji 10: 1; Dzieje się tak dlatego, że gaz jest nie tylko sprężany, ale praca wykonywana w celu sprężenia gazu zwiększa również jego energię wewnętrzną, co objawia się wzrostem temperatury gazu i dodatkowym wzrostem ciśnienia powyżej tego, co wynikałoby z uproszczonego obliczenia 10 razy ciśnienie początkowe.

Możemy również obliczyć temperaturę sprężonego gazu w cylindrze silnika, korzystając z prawa gazu doskonałego, PV = nRT (n to ilość gazu w molach, a R to gaz stała dla tego gazu). Nasze warunki początkowe to 100 kPa ciśnienia, 1 l objętości i 300 K temperatury, nasza stała doświadczalna (nR) wynosi:

PVT = stała 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ Displaystyle {\ Frac {PV} {T}} = \ operatorname {stała} _ {2} = {\ Frac {10 ^ {5} ~ {\ tekst {Pa}} \ razy 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Wiemy, że sprężony gaz ma V = 0,1 L i P = 2,51 × 106 Pa, więc możemy obliczyć temperaturę:

T = stała PV 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ Displaystyle T = {\ Frac {PV} {\ operatorname {stała} _ {2}}} = {\ Frac {2,51 \ razy 10 ^ {6} ~ {\ tekst {Pa}} \ razy 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

To jest temperatura końcowa 753 K lub 479 ° C lub 896 ° F, znacznie powyżej punktu zapłonu wielu paliw. Dlatego silnik wysokoprężny wymaga paliw o specjalnej formule, aby nie ulegały samozapłonowi (co powodowałoby stukanie silnika podczas pracy w takich warunkach temperatury i ciśnienia) lub sprężarki doładowującej z chłodnicą międzystopniową w celu zwiększenia ciśnienia, ale z niższym wzrost temperatury byłby korzystny. Silnik wysokoprężny pracuje w jeszcze bardziej ekstremalnych warunkach, przy typowym stopniu sprężania 16: 1 lub większym, aby zapewnić bardzo wysoką temperaturę gazu, która zapewnia natychmiastowy zapłon wtryskiwanego paliwa.

Brak adiabatyczności ekspansja gazuEdytuj

Aby uzyskać adiabatyczną swobodną ekspansję gazu doskonałego, gaz znajduje się w izolowanym pojemniku, a następnie pozwala się mu rozszerzyć w próżni. Ponieważ nie ma zewnętrznego ciśnienia, w stosunku do którego gaz mógłby się rozszerzać, praca wykonywana przez system lub na systemie wynosi zero. Ponieważ proces ten nie obejmuje wymiany ciepła ani pracy, pierwsza zasada termodynamiki zakłada, że zmiana energii wewnętrznej netto układu wynosi zero. W przypadku gazu doskonałego temperatura pozostaje stała, ponieważ w tym przypadku energia wewnętrzna zależy tylko od temperatury. Ponieważ przy stałej temperaturze entropia jest proporcjonalna do objętości, w tym przypadku entropia rośnie, dlatego proces ten jest nieodwracalny.

Wyprowadzenie zależności P – V dla adiabatycznego ogrzewania i chłodzeniaEdit

Definicja procesu adiabatycznego jest taka, że przekazywanie ciepła do układu wynosi zero, δQ = 0. Następnie, zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ Displaystyle {\ tekst {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

gdzie dU to zmiana energii wewnętrznej systemu, a δW to praca wykonywana przez system. Wszelkie prace (δW) należy wykonywać kosztem energii wewnętrznej U, ponieważ z otoczenia nie jest dostarczane ciepło δQ. Praca ciśnieniowo-objętościowa δW wykonana przez system jest zdefiniowana jako

(2) δ W = P d V. {\ Displaystyle {\ tekst {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

Jednak P nie pozostaje stałe podczas procesu adiabatycznego, ale zamiast tego zmienia się wraz z V.

Pożądane jest, aby wiedzieć, jak wartości dP i dV odnoszą się do siebie w trakcie procesu adiabatycznego. Dla gazu doskonałego (przypomnij sobie prawo gazu doskonałego PV = nRT) energia wewnętrzna jest określona przez

(3) U = α n RT = α PV, {\ Displaystyle {\ tekst {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

gdzie α to liczba stopni swobody podzielona przez dwa, R to uniwersalna stała gazowa, an to liczba moli w układzie (stała).

Równanie różniczkowe (3) daje

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ Displaystyle {\ tekst {(4)}} \ qquad dU = \ alfa nR \, dT = \ alfa \, d (PV) = \ alfa (P \, dV + V \, dP).}

Równanie (4) jest często wyrażane jako dU = nCV dT, ponieważ CV = αR.

Teraz podstaw równania (2) i (4) do równania (1), aby otrzymać

– P d V = α P re V + α V re P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alfa P \, dV + \ alfa V \, dP,}

rozkład na czynniki −P dV:

– (α + 1 ) P re V = α V re P, {\ displaystyle – (\ alfa +1) P \, dV = \ alfa V \, dP,}

i podziel obie strony przez PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ Displaystyle – (\ alfa +1) {\ Frac {dV} {V}} = \ alfa {\ Frac {DP} {P}}.}

Po zintegrowaniu lewej i prawej strony od V0 do V i od P0 do P i odpowiednio zmieniając boki,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ Displaystyle \ ln \ lewo ({\ Frac {P} {P_ {0}}} \ prawej) = – {\ Frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ lewo ({\ Frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Potęgować obie strony, podstawić α + 1 / α przez γ, współczynnik pojemności cieplnej

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {P} {P_ {0}}} \ prawej) = \ lewo ({\ Frac {V} {V_ {0}}} \ prawo) ^ {- \ gamma},}

i wyeliminuj znak ujemny, aby otrzymać

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {P} {P_ {0}}} \ prawej) = \ lewo ({\ Frac {V_ {0}} {V}} \ prawo) ^ {\ gamma}.}

Dlatego

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {P} {P_ {0}}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

i

P 0 V 0 γ = PV γ = stała. {\ Displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {stała}.}

Wyprowadzenie relacji P – T dla adiabatycznego ogrzewania i chłodzeniaEdytuj

Podstawiając prawo gazu doskonałego do powyższego, otrzymujemy

P (n RTP) γ = stała, {\ Displaystyle P \ lewo ({\ Frac {nRT} {P}} \ prawo) ^ {\ gamma } = \ nazwa operatora {stała},}

co upraszcza do

P 1 – γ T γ = stała. {\ Displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {stała}.}

Wyprowadzenie formuły dyskretnej i wyrażenia pracyEdytuj

Zmiana energii wewnętrznej systemu , mierzona od stanu 1 do stanu 2, jest równa

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ Displaystyle {\ tekst {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alfa RnT_ {2} – \ alfa RnT_ {1} = \ alfa Rn \ Delta T.}

Jednocześnie praca wykonana przez zmiany ciśnienia i objętości w wyniku tego procesu jest równa

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Ponieważ wymagamy, aby proces był adiabatyczny, poniższe równanie musi być prawdziwe

(3) Δ U + W = 0. {\ Displaystyle {\ tekst {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Przez poprzednie wyprowadzenie,

(4) PV γ = stała = P 1 V 1 γ. {\ Displaystyle {\ tekst {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ tekst {stała}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Zmiana układu (4 ) daje

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ Displaystyle P = P_ {1} \ lewo ({\ Frac {V_ {1}} {V}} \ prawo) ^ {\ gamma}.}

Podstawiając to do (2) daje

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ Displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ lewo ({\ Frac {V_ {1}} {V}} \ prawo) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Całkując otrzymujemy wyrażenie na pracę,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ Displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ Frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Podstawiając γ = α + 1 / α w drugim semestrze,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ Displaystyle W = – \ alfa P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ lewo (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ prawej)) .}

Zmiana układu,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ Displaystyle W = – \ alfa P_ {1} V_ {1} \ lewo (\ lewo ({\ Frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ prawej) ^ {1- \ gamma} -1) \ right).}

Korzystając z prawa gazu doskonałego i przyjmując stałą ilość molową (jak to często bywa w praktycznych przypadkach),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ Displaystyle W = – \ alfa nRT_ {1} \ lewo (\ lewo ({\ Frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ prawo) ^ {1- \ gamma} -1 \ prawo). }

Zgodnie z formułą ciągłą,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ Displaystyle {\ Frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ lewo ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

lub

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ prawej) ^ {- {\ Frac {1} {\ gamma}}} = {\ Frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Podstawiając do poprzedniego wyrażenia W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ Displaystyle W = – \ alfa nRT_ {1} \ lewo (\ lewo ({\ Frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ prawo) ^ {\ Frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ right).}

Podstawiając to wyrażenie i (1) w (3) daje

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ Displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ lewo (\ lewo ({\ Frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ prawo) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right).}

Upraszczając,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ Displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ lewo (\ lewo ({\ Frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ prawej) ^ {\ Frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ po prawej),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ Displaystyle {\ Frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ Displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ lewo ({\ Frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ prawo) ^ {\ Frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }