P kontra NPEdit
Pytanie brzmi, czy dla wszystkich problemów, dla których algorytm może szybko zweryfikować dane rozwiązanie (czyli w czasie wielomianowym), algorytm może również szybko znaleźć to rozwiązanie. Ponieważ pierwszy opisuje klasę problemów określaną jako NP, podczas gdy drugi opisuje P, pytanie jest równoważne zapytaniu, czy wszystkie problemy w NP są również w P. Jest to ogólnie uważane za jedno z najważniejszych pytań otwartych w matematyce i informatyce teoretycznej. ponieważ ma daleko idące konsekwencje dla innych problemów w matematyce oraz dla biologii, filozofii i kryptografii (patrz: P kontra NP problemowe konsekwencje). Typowym przykładem problemu NP, o którym nie wiadomo, że występuje w P, jest logiczny problem spełnialności.
Większość matematyków i informatyków oczekuje, że P ≠ NP; jednakże pozostaje to nieudowodnione.
Oficjalne stwierdzenie problemu zostało przedstawione przez Stephena Cooka.
Przypuszczenie HodgeaEdit
Hipoteza Hodgea jest taka, że dla projekcyjnych rozmaitości algebraicznych cykle Hodgea są racjonalnymi liniowymi kombinacjami cykli algebraicznych.
Oficjalne stwierdzenie problemu zostało podane przez Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Hipoteza Riemanna głosi, że wszystkie nietrywialne zera analitycznej kontynuacji funkcji zeta Riemanna mają rzeczywistą część 1/2. Dowód lub zaprzeczenie tego miałoby daleko idące konsekwencje w teorii liczb, zwłaszcza w przypadku rozkładu liczb pierwszych. To był ósmy problem Hilberta i sto lat później nadal jest uważany za ważny, otwarty problem.
Oficjalne stwierdzenie problemu zostało wydane przez Enrico Bombieri.
Istnienie Yanga-Millsa i przerwy masowejEdytuj
W fizyce klasyczna teoria Yanga – Millsa jest uogólnieniem teorii Maxwella elektromagnetyzmu, w której pole chromo-elektromagnetyczne sama niesie ładunek. Jako klasyczna teoria pola ma rozwiązania poruszające się z prędkością światła, tak aby jej wersja kwantowa opisywała cząstki bezmasowe (gluony). Jednak postulowane zjawisko uwięzienia koloru dopuszcza tylko stany związane gluonów, tworząc masywne cząstki . To jest luka masowa. Innym aspektem uwięzienia jest asymptotyczna swoboda, która sprawia, że można sobie wyobrazić, że kwantowa teoria Yanga-Millsa istnieje bez ograniczeń dla skal niskoenergetycznych. Problem polega na ścisłym ustaleniu istnienia kwantowej teorii Yanga-Millsa luka masowa.
Oficjalne przedstawienie problemu przedstawili Arthur Jaffe i Edward Witten.
Istnienie i płynność Naviera-StokesaEdit
Równania Naviera – Stokesa opisują ruch płynów i są jednym z filarów mechaniki płynów. Jednak teoretyczne zrozumienie ich rozwiązań jest niepełne. W szczególności rozwiązania równań Naviera-Stokesa często zawierają turbulencje, których ogólne rozwiązanie pozostaje jednym z największych nierozwiązanych problemów w fizyce, pomimo jej ogromnego znaczenia w nauce i inżynierii.
Nawet podstawowe właściwości rozwiązania Navier – Stokes nigdy nie zostały sprawdzone. W przypadku trójwymiarowego układu równań i biorąc pod uwagę pewne warunki początkowe, matematycy nie udowodnili jeszcze, że gładkie rozwiązania istnieją zawsze i wszędzie. Nazywa się to problemem istnienia i gładkości Naviera-Stokesa.
Problem polega na zrobieniu postępu w kierunku teorii matematycznej, która da wgląd w te równania, poprzez udowodnienie, że istnieją gładkie, globalnie zdefiniowane rozwiązania, które spełniają pewne warunki, lub że nie zawsze istnieją i równania się załamują.
Oficjalne stwierdzenie problemu zostało wydane przez Charlesa Feffermana.
Przypuszczenie Bircha i Swinnertona-DyeraEdytuj
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera dotyczy pewnych typów równań: tych, które definiują krzywe eliptyczne na liczbach wymiernych. Przypuszcza się, że istnieje prosty sposób na stwierdzenie, czy takie równania mają skończoną, czy nieskończoną liczbę racjonalnych rozwiązań. Dziesiąty problem Hilberta dotyczył bardziej ogólnego typu równania iw tym przypadku udowodniono, że nie ma sposobu, aby zdecydować, czy dane równanie ma w ogóle jakieś rozwiązania.
Oficjalne stwierdzenie problemu zostało przekazane przez Andrew Wilesa.