Podsumowanie

Poniższe wzory dotyczą sum skończonych; dla nieskończonych sumowań lub skończonych sumowań wyrażeń obejmujących funkcje trygonometryczne lub inne funkcje transcendentalne, patrz lista szeregów matematycznych.

Tożsamości ogólne = stf (n) {\ Displaystyle \ suma _ {n = s} ^ {t} do \ cdot f (n) = do \ cdot \ suma _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (rozdzielność) ∑ n = stf (n) ± ∑ n = stg (n) = ∑ n = st (f (n) ± g (n)) {\ Displaystyle \ suma _ {n = s} ^ {t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s} ^ {t} g (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} \ left (f (n) \ pm g (n) \ right) \ quad} (przemienność i łączność) ∑ n = stf (n) = ∑ n = s + pt + pf (n – p) {\ displaystyle \ suma _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ suma _ {n = s + p} ^ {t + p} f (np) \ quad} (przesunięcie indeksu) ∑ n ∈ B f (n) = ∑ m ∈ ZA f (σ (m)), {\ Displaystyle \ sum _ {n \ in B} f (n) = \ sum _ {m \ in A} f (\ sigma (m)), \ quad} dla bijection σ ze skończonego zbioru A na zbiór B (indeks zmiana); to uogólnia poprzednią formułę. ∑ n = stf (n) = ∑ n = sjf (n) + ∑ n = j + 1 tf (n) {\ displaystyle \ suma _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ suma _ { n = s} ^ {j} f (n) + \ sum _ {n = j + 1} ^ {t} f (n) \ quad} (dzielenie sumy przy użyciu asocjacji) ∑ n = abf (n) = ∑ n = 0 bf (n) – ∑ n = 0 a – 1 f (n) {\ Displaystyle \ suma _ {n = a} ^ {b} f (n) = \ suma _ {n = 0} ^ { b} f (n) – \ sum _ {n = 0} ^ {a-1} f (n) \ quad} (wariant poprzedniego wzoru) ∑ n = stf (n) = ∑ n = 0 t – sf (t – n) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f (tn) \ quad} (suma z pierwszy termin aż do ostatniego jest równy sumie od ostatniego do pierwszego) ∑ n = 0 tf (n) = ∑ n = 0 tf (t – n) {\ displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (tn) \ quad} (szczególny przypadek powyższego wzoru) ∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 ai, j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ ja = k 0 k 1 ai, j {\ displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ { 0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ { 1}} a_ {i, j} \ quad} (przemienność i łączność, ponownie) ∑ k ≤ j ≤ i ≤ nai, j = ∑ i = kn ∑ j = kiai, j = ∑ j = kn ∑ ja = jnai, j = ∑ j = 0 n – k ∑ ja = kn – jai + j, ja {\ displaystyle \ suma _ {k \ równoważnik j \ równoważnik ja \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k} ^ {n} \ sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k} ^ {n} \ sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0} ^ {nk} \ sum _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} \ quad} (kolejne zastosowanie przemienności i asocjatywności) ∑ n = 2 s 2 t + 1 f (n) = ∑ n = stf (2 n) + ∑ n = stf (2 n + 1) { \ Displaystyle \ suma _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = \ suma _ {n = s} ^ {t} f (2n) + \ suma _ {n = s} ^ {t} f (2n + 1) \ quad} (dzielenie sumy na części parzyste i nieparzyste, dla indeksów parzystych) ∑ n = 2 s + 1 2 tf (n) = ∑ n = s + 1 tf (2 n) + ∑ n = s + 1 tf (2 n – 1) {\ displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = \ suma _ {n = s + 1} ^ {t} f ( 2n) + \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n-1) \ quad} (dzielenie sumy na części nieparzyste i parzyste, dla nieparzystych indeksów) (∑ i = 0 nai) (∑ j = 0 nbj) = ∑ ja = 0 n ∑ j = 0 naibj {\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ prawo) \ lewo (\ suma _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad} ( dystrybucja utivity) ∑ ja = sm ∑ j = tnaicj = (∑ ja = smai) (∑ j = tncj) {\ displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ suma _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s} ^ {m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ dobrze) \ quad} (rozkład pozwala na faktoryzację) ∑ n = st log b ⁡ f (n) = log b ⁡ ∏ n = stf (n) {\ displaystyle \ suma _ {n = s} ^ { t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad} (logarytm iloczynu jest sumą logarytmów czynników) do ∑ n = stf (n) = ∏ n = st do fa (n) {\ displaystyle C ^ {\ suma \ granice _ {n = s} ^ {t} f (n)} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} \ quad} (wykładnik sumy jest iloczynem wykładniczej sumy)

Potęgi i logarytm postępów arytmetycznychEdytuj

∑ ja = 1 nc = nc {\ displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} c = nc \ quad} dla każdego c, które nie zależy od ja ∑ ja = 0 ni = ∑ ja = 1 ni = n (n + 1) 2 {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} i = \ suma _ {i = 1} ^ {n} i = {\ Frac {n (n + 1)} {2 }} \ qquad} (Suma najprostszego ciągu arytmetycznego, składająca się z n fi pierwsze liczby naturalne.): 52 ∑ ja = 1 n (2 ja – 1) = n 2 {\ displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} (2i-1) = n ^ {2} \ qquad} (Suma pierwszych nieparzystych liczb naturalnych) ∑ ja = 0 n 2 ja = n (n + 1) {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} 2i = n (n + 1) \ qquad} (Suma pierwszych parzystych liczb naturalnych) ∑ i = 1 n log ⁡ i = log ⁡ n! {\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ log i = \ log n! \ qquad} (suma logarytmów to logarytm iloczynu) ∑ ja = 0 ni 2 = ∑ ja = 1 ni 2 = n (n + 1) (2 n + 1) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad} (Suma pierwszych kwadratów, patrz kwadratowa liczba piramidalna.): 52 ∑ ja = 0 ni 3 = (∑ ja = 0 ni) 2 = (n (n + 1) 2) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2 }} {4}} \ qquad} (twierdzenie Nicomachusa): 52

Bardziej ogólnie, ma się wzór Faulhabera

∑ k = 1 nkp = np + 1 p + 1 + 1 2 np + ∑ k = 2 p (pk) b kp – k + 1 np – k + 1, {\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ Frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ Frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \, n ^ {p-k + 1},}

gdzie B k {\ Displaystyle B_ {k}} oznacza liczbę Bernoulliego i (pk ) {\ Displaystyle {\ binom {p} {k}}} to współczynnik dwumianowy.

Indeks sumowania w wykładnikachEdit

W poniższych podsumowaniach zakłada się, że a różni się od 1.

∑ ja = 0 n – 1 ai = 1 – an 1 – a {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1- a ^ {n}} {1-a}}} (suma postępu geometrycznego) ∑ i = 0 n – 1 1 2 i = 2 – 1 2 n – 1 {\ displayst yle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2 – {\ frac {1} {2 ^ {n- 1}}}} ( przypadek specjalny dla a = 1/2) ∑ ja = 0 n – 1 iai = a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2 {\ displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n -1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}}} (a razy pochodna względem a ciągu geometrycznego) ∑ i = 0 n – 1 (b + id) ai = b ∑ i = 0 n – 1 ai + d ∑ i = 0 n – 1 iai = b (1 – an 1 – a) + d (a – nan + (n – 1) an + 1 (1 – a) 2) = b (1 – an) – (n – 1) dan 1 – a + da (1 – an – 1) (1 – a) 2 {\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} \ lewo (b + id \ prawej) a ^ {i} & = b \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \ \ & = b \ left ({\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right) + d \ left ({\ frac {a- na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}} \ right) \\ & = { \ frac {b (1-a ^ {n}) – (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da (1-a ^ {n-1})} { (1-a) ^ {2}}} \ end {aligned}}} (suma ciągu arytmetyczno-geometrycznego)

Współczynniki dwumianowe i czynniki alsEdit

Istnieje bardzo wiele tożsamości sumowania obejmujących współczynniki dwumianowe (cały rozdział Matematyki konkretnej poświęcony jest tylko podstawowym technikom) . Niektóre z najbardziej podstawowych są następujące.

Uwzględniając twierdzenie dwumianowe Edytuj

ja = 0 n (ni) an – ibi = (a + b) n, {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ wybierz i} a ^ {ni} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},} dwumianowe twierdzenie ∑ i = 0 n (ni) = 2 n, {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ wybierz i} = 2 ^ {n},} przypadek specjalny, gdzie a = b = 1 ∑ ja = 0 n (ni) pi ( 1 – p) n – ja = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ wybierz i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} = 1}, specjalny przypadek, w którym p = a = 1 – b, co dla 0 ≤ p ≤ 1, {\ Displaystyle 0 \ równoważnik p \ równoważnik 1,} wyraża sumę rozkładu dwumianowego ∑ ja = 0 ni (ni) = n (2 n – 1), {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} ja {n \ wybierz i} = n (2 ^ {n-1}),} wartość przy a = b = 1 z pochodna w odniesieniu do dwumianu twierdzenia ∑ ja = 0 n (ni) ja + 1 = 2 n + 1 – 1 n + 1, {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ Frac { n \ wybierz i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}},} wartość przy a = b = 1 funkcji pierwotnej względem a z twierdzenie o dwumianach

Uwzględnianie numery permutacjiEdytuj

W poniższych podsumowaniach n P k {\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}} to liczba k-permutacji n.

∑ ja = 0 ni P k (ni) = n P k (2 n – k) {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ wybierz i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {nk})} ∑ i = 1 ni + k P k + 1 = ∑ i = 1 n ∏ j = 0 k (i + j) = (n + k + 1) ! (n – 1)! (k + 2) {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = {\ frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}} ∑ i = 0 ni! ⋅ (n i) = ∑ i = 0 n n P i = ⌊ n! ⋅ mi ⌋, n ∈ Z + {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} ja! \ Cdot {n \ wybierz i} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {} _ { n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}, gdzie i ⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor} oznacza podłogę funkcjonować.

InniEdytuj

∑ k = 0 m (n + kn) = (n + m + 1 n + 1) {\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {m} \ lewo ({\ zaczynać {tablica} {c} n + k \\ n \\\ end {tablica}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} n + m + 1 \\ n + 1 \\\ end {tablica}} \ prawej)} ∑ ja = kn (ik) = (n + 1 k + 1) {\ Displaystyle \ suma _ {i = k} ^ {n} {ja \ wybierz k} = {n + 1 \ wybierz k + 1}} ∑ i = 0 ni ⋅ i! = (n + 1)! – 1 {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} ja \ cdot i! = (N + 1)! – 1} ∑ ja = 0 n (m + i – 1 i) = (m + nn ) {\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ wybierz i} = {m + n \ wybierz n}} ∑ ja = 0 n (ni) 2 = (2 nn) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ wybierz i} ^ {2} = {2n \ wybierz n}} ∑ ja = 0 n 1 ja! = ⌊ n! e ⌋ n! {\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ Frac {1} {i!}} = {\ Frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}

Liczby harmoniczneEdytuj

∑ ja = 1 n 1 ja = H n {\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {1} {i}} = H_ {n}} (to jest numer n-tej harmonicznej) ∑ ja = 1 n 1 ik = H nk {\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}} (to jest uogólniona liczba harmoniczna)